Difração

 Nota: Não confundir com Refração.

Difração

Padrão de difração de um laser vermelho após atravessar uma abertura circular.
Tipo	Fenômeno ondulatório
Modelo ondulatório	Princípio de Huygens-Fresnel
Regimes de aproximação	Fresnel e Fraunhofer
Exemplos	Luz, som, ondas na água e ondas de matéria

A difração é o desvio de ondas em relação à propagação prevista por trajetórias retilíneas quando encontram um obstáculo ou atravessam uma abertura. A difração e a interferência têm a mesma base física, a superposição de ondas. O termo interferência costuma ser usado quando se somam poucas contribuições, enquanto difração é usado para a soma de muitas delas, como as provenientes de diferentes pontos de uma abertura. A expressão padrão de difração designa a distribuição espacial ou angular da intensidade após a difração. Esses padrões tornam-se bem definidos quando uma onda proveniente de uma fonte coerente, como um laser, encontra uma fenda ou abertura. O espalhamento angular costuma ser mais acentuado quando uma dimensão característica da abertura é comparável ao comprimento de onda. Quando essa dimensão é muito maior que o comprimento de onda, a óptica geométrica fornece uma aproximação útil em muitas situações, embora não reproduza os detalhes das franjas e das bordas das sombras.

Na física clássica, o princípio de Huygens-Fresnel permite calcular a difração considerando cada ponto de uma frente de onda como origem de ondas secundárias. As contribuições de diferentes pontos percorrem caminhos de comprimentos diferentes até a superfície de observação e se somam com fases que podem reforçar ou reduzir a amplitude resultante. Aberturas próximas umas das outras podem produzir padrões com máximos estreitos de intensidade. O formato de uma abertura ou de um obstáculo também altera o padrão observado.

A difração pode ocorrer com todas as ondas, entre elas ondas gravitacionais, ondas na água, som e radiação eletromagnética, como a luz, os raios X e as ondas de rádio. Também ocorre com ondas de matéria, como as de elétrons e nêutrons. Obstáculos não precisam ser opacos, pois estruturas transparentes que alteram a fase também podem difratar ondas. Na óptica, essa alteração pode ser produzida por diferenças de espessura ou de índice de refração. A difração é usada em dispositivos de segurança de cartões de crédito e em métodos para determinar a estrutura atômica de materiais na escala nanométrica.

O cientista italiano Francesco Maria Grimaldi criou o termo difração no século XVII. Seus estudos foram publicados postumamente em 1665. Formulações matemáticas posteriores permitiram calcular o fenômeno a partir das equações de propagação e das condições impostas pelos obstáculos. Para ondas eletromagnéticas, o tratamento completo emprega as equações de Maxwell. Para ondas de matéria, emprega-se a equação de Schrödinger ou uma formulação relativística adequada às energias envolvidas.

História

Esboço de Thomas Young da difração por duas fendas em ondas de água, apresentado em suas Lectures de 1807.

Os efeitos da difração da luz foram estudados em detalhe por Francesco Maria Grimaldi, que criou o termo a partir do latim diffringere, "quebrar em pedaços", em referência à separação da luz em diferentes direções. Os resultados de suas observações foram publicados postumamente em 1665. Isaac Newton estudou esses efeitos e atribuiu-os a uma "inflexão" dos raios luminosos. James Gregory observou padrões produzidos por uma pena de ave, cuja estrutura funcionava como uma rede de difração.

Thomas Young desenvolveu um tratamento ondulatório da difração em 1800. Em seu modelo, as franjas observadas atrás de uma borda iluminada surgiam da interferência entre a onda plana transmitida diretamente e uma onda cilíndrica que parecia ser emitida pela borda.

Augustin-Jean Fresnel retomou o problema e elaborou uma teoria baseada no princípio de Huygens. Nesse modelo, a parte não obstruída da frente de onda é dividida em fontes secundárias, cujas contribuições interferem além da barreira. Fresnel desenvolveu um tratamento matemático a partir dessa ideia, e o modelo de Young foi inicialmente tido como incorreto. Trabalhos posteriores estabeleceram a equivalência entre as formulações nas condições apropriadas.

Em 1818, a difração foi o tema de um concurso da Academia de Ciências de Paris. Entre os examinadores havia defensores da teoria corpuscular da luz. Ao examinar a teoria ondulatória apresentada por Fresnel, Siméon Denis Poisson observou que ela previa um ponto luminoso no centro da sombra de um obstáculo circular. François Arago demonstrou experimentalmente a existência desse ponto luminoso, confirmando a previsão de Fresnel.

Em 1859, Hermann von Helmholtz e, em 1882, Gustav Kirchhoff desenvolveram formulações integrais que deram uma base matemática à propagação de ondas e à teoria da difração. Essas abordagens expressam o campo por meio de contribuições distribuídas sobre superfícies, com aproximações para as condições nas aberturas e nos obstáculos. Na década de 1940, também foram desenvolvidos métodos baseados na difusão transversal da amplitude para problemas de propagação e difração.

Fundamentos

A difração ocorre quando a propagação de uma onda é modificada por uma abertura, uma borda ou outra estrutura. Um obstáculo pode bloquear parte da onda ou alterar sua fase. No espalhamento elástico, a energia dos quanta espalhados não muda, embora sua direção de propagação possa mudar. Isso não significa que toda a energia incidente atravesse uma abertura, pois parte dela pode ser refletida ou absorvida pela barreira. O padrão resultante não pode ser previsto apenas pelas trajetórias retilíneas da óptica geométrica. Uma fonte luminosa pequena, bloqueada por um objeto sólido, por exemplo, produz detalhes na borda da sombra que não aparecem nessa aproximação.

Difração por uma única fenda em um tanque de ondas circular.

Construção de Huygens para uma frente de onda que atravessa uma abertura. As ondas secundárias se propagam além das bordas da região prevista pela óptica geométrica.

O modelo adequado depende das características das ondas e dos obstáculos. No princípio de Huygens-Fresnel, cada ponto de uma frente de onda é considerado uma fonte pontual de uma onda secundária, chamada ondícula de Huygens. A propagação é calculada pela superposição dessas contribuições, levando em conta suas amplitudes e fases. Na ausência de obstáculos, essa construção reproduz o avanço da frente de onda. Quando parte das contribuições é bloqueada, as restantes também alcançam regiões situadas atrás do obstáculo.

As fases relativas determinam o reforço ou o cancelamento das ondas. Duas contribuições de mesma amplitude e diferença de fase igual a meio ciclo se cancelam. Se suas amplitudes forem diferentes, o cancelamento será apenas parcial. Ao somar muitas contribuições, a amplitude resultante depende de todas essas relações de fase, o que produz os máximos e mínimos característicos dos padrões de difração.

Na mecânica quântica, a função de onda fornece uma amplitude de probabilidade. Para uma partícula com função de onda espacial normalizada, seu módulo ao quadrado é uma densidade de probabilidade. A probabilidade de encontrar a partícula em uma região é obtida integrando essa densidade sobre a região. Assim, os máximos e mínimos de um padrão de difração correspondem a maior ou menor frequência de detecções quando o experimento é repetido.

Entre os modelos quantitativos estão a fórmula de difração de Kirchhoff, derivada da equação de onda, e suas aproximações de Fraunhofer e de Fresnel. A teoria escalar é suficiente para muitos arranjos ópticos, mas pode perder precisão quando as estruturas têm dimensões da ordem do comprimento de onda. Nesses casos, a natureza vetorial do campo e as condições eletromagnéticas nas superfícies precisam ser consideradas. Configurações sem solução analítica podem ser calculadas pelo método dos elementos finitos ou pelo método dos elementos de contorno.

Em muitos cálculos, admite-se que a onda seja espalhada apenas uma vez. Essa é a aproximação da difração cinemática. A esfera de Ewald expressa geometricamente a conservação do módulo do vetor de onda no espalhamento elástico. Para ondas de matéria, a propagação e o espalhamento são calculados a partir da equação de Schrödinger, com correções relativísticas quando necessárias. Hans Bethe desenvolveu em 1928 um tratamento da difração de elétrons por cristais que incorpora o acoplamento entre ondas difratadas. Os limites de Fresnel e Fraunhofer também podem ser formulados para ondas de matéria por meio de aproximações da função de Green, ou propagador, da equação correspondente.

O espalhamento múltiplo exige modelos da teoria dinâmica da difração, empregados em muitos experimentos de difração de elétrons e na difração de raios X por cristais de alta perfeição.

Regimes de Fresnel e Fraunhofer

Ver artigos principais: Difração de Fresnel e Difração de Fraunhofer

Mudança do padrão de difração de uma abertura circular com a distância, do regime de Fresnel ao de Fraunhofer.

Para uma onda plana incidente sobre uma abertura de dimensão transversal característica $a$, observada a uma distância $L$, o número de Fresnel é

$$F={\frac {a^{2}}{L\lambda }},$$

em que $\lambda$ é o comprimento de onda no meio de propagação. A convenção para $a$, como o raio ou a largura da abertura, deve ser mantida ao comparar valores. Quando $F\ll 1$, a variação quadrática da fase sobre a abertura pode ser desprezada e obtém-se a aproximação de Fraunhofer. No regime de Fresnel, essa variação ainda precisa ser incluída. A aproximação de Fresnel também possui condições de validade e não abrange, por si só, todos os fenômenos de campo próximo.

Uma lente pode formar no plano focal posterior o padrão angular correspondente à difração de Fraunhofer. Isso permite observá-lo sem instalar uma tela a uma distância fisicamente muito grande.

As descrições mais simples da difração são aquelas em que o problema pode ser reduzido a duas dimensões. A propagação horizontal das ondas em um tanque de ondas pode ser modelada dessa maneira, sob as condições adequadas. Para a luz, a variação ao longo de uma direção pode ser desprezada quando a abertura é muito extensa e uniforme nessa direção. Uma abertura circular, por sua vez, exige considerar as duas dimensões transversais do campo.

• 
  Padrão de difração produzido por uma abertura quadrada.
• 
  Padrão produzido por duas fendas.
• 
  Propagação de ondas através de duas fendas.
• 
  Padrão de difração óptica.
• 
  Cores em uma teia de aranha. A estrutura dos fios e das gotículas aderentes pode produzir efeitos de interferência e espalhamento.

Ocorrência

Os efeitos da difração aparecem em situações comuns. As trilhas muito próximas de um CD ou DVD funcionam como uma rede de difração e separam a luz branca em cores. Estruturas difrativas também podem ser fabricadas para produzir imagens ou distribuir a luz de uma maneira escolhida. O holograma de segurança de um cartão de crédito é um exemplo.

• 
  Estrutura de pixels de uma tela funcionando como uma rede de difração.
• 
  Separação de cores pela estrutura de trilhas de um CD.
• 
  Corona lunar.
• 
  Uma glória vista de um avião.

A difração atmosférica por pequenas partículas pode formar uma corona, um disco luminoso acompanhado de anéis ao redor do Sol ou da Lua. Uma glória é observada na direção oposta à fonte luminosa, ao redor do ponto correspondente à sombra do observador. Sua formação envolve o retroespalhamento da luz por gotículas quase esféricas e requer um tratamento ondulatório do espalhamento, com interferência entre contribuições que percorrem caminhos diferentes nas gotículas e junto às suas superfícies. A difração por um disco opaco, sozinha, não explica esse fenômeno.

Vista da extremidade da Millennium Bridge, em Londres, com a Lua surgindo acima da Southwark Bridge. As luzes das ruas se refletem no Tâmisa.

Outro exemplo são os picos de difração, produzidos por aberturas não circulares de câmeras ou pelas hastes de sustentação de componentes de um telescópio. A difração da luz pelos cílios também pode produzir raios ao redor de fontes luminosas.

O aspecto iridescente que às vezes aparece em carnes frias fatiadas decorre da difração na estrutura das fibras musculares. Em teias de aranha, cores semelhantes podem ter outra origem. Nos fios cobertos por pequenas gotículas aderentes, elas podem resultar da interferência da luz espalhada por essas gotículas. As cores estruturais podem resultar de difração, interferência em camadas ou de outros mecanismos de espalhamento da luz.

Ondas oceânicas difratam ao redor de molhes e de outros obstáculos. Atrás de um promontório ou quebra-mar, as cristas podem curvar-se para dentro da região de sombra geométrica. A redistribuição da energia das ondas é levada em conta no projeto de portos e de outras obras costeiras.

• 
  Ondas que se espalham após atravessar a entrada estreita de uma pedreira costeira inundada.
• 
  Difração de ondas regulares junto a um quebra-mar. Parte da energia penetra na região de sombra geométrica.

Ondas sonoras podem difratar ao redor de objetos, permitindo ouvir uma fonte que não está na linha de visão do ouvinte. Um caso estudado pela arqueoacústica ocorre no El Castillo, em Chichén Itzá. Uma palma batida diante da pirâmide retorna como um eco de frequência descendente. Os degraus regularmente espaçados de sua escadaria formam uma estrutura aproximadamente periódica, que pode ser analisada como uma rede de difração acústica.

Um feixe livremente propagante, de extensão transversal finita e potência finita, também apresenta divergência por difração. Para uma abertura circular de diâmetro $D$, a escala angular é proporcional a $\lambda /D$. Esse efeito precisa ser considerado na transmissão de feixes de laser e de micro-ondas por grandes distâncias.

Casos distintos

Os padrões de difração dependem das dimensões e da forma dos obstáculos, assim como da maneira pela qual eles alteram a amplitude e a fase da onda. Fendas e outras aberturas são casos simples, pois restringem a região por onde a onda passa. Na aproximação de Fraunhofer, a amplitude do campo difratado é proporcional à transformada de Fourier do campo na abertura. A intensidade é proporcional ao módulo ao quadrado dessa amplitude. A transformada da forma geométrica da abertura é suficiente apenas quando a iluminação tem amplitude e fase uniformes sobre ela.

Difração por uma fenda

Ver artigo principal: Difração por fendas

Padrão de difração por uma única fenda produzido por um laser azul.

Cálculo da propagação através de uma fenda com largura igual a quatro comprimentos de onda. O campo se espalha após a abertura.

Considere uma fenda longa, de largura $d$, iluminada uniformemente por uma onda plana monocromática que incide perpendicularmente ao plano da abertura. Os pontos da fenda recebem a mesma fase e podem ser considerados fontes secundárias. O campo observado depois da fenda resulta da soma de suas contribuições. Em uma direção que faz um ângulo $\theta$ com a normal à abertura, essas contribuições percorrem caminhos diferentes até o observador.

Tomando a direção longa da fenda como o eixo $y$, sua largura ao longo de $z$ e a propagação incidente ao longo de $x$, o máximo central ocorre na direção do eixo $x$. No campo distante, todos os pontos da fenda contribuem em fase nessa direção. Para encontrar o primeiro mínimo, a fenda pode ser dividida em duas metades. Cada ponto de uma metade é emparelhado com outro situado a uma distância $d/2$ na outra metade. A diferença de caminho entre as contribuições de cada par é aproximadamente $d\sin \theta /2$. Quando ela é igual a $\lambda /2$, os pares se cancelam e surge o primeiro mínimo:

$$d\sin \theta _{\mathrm {min} }=\lambda .$$

Os demais mínimos obedecem a

$$d\sin \theta _{m}=m\lambda ,\qquad m=\pm 1,\pm 2,\ldots ,$$

para os valores de $m$ que correspondem a direções fisicamente possíveis.

O perfil de intensidade é obtido somando as contribuições de toda a largura da fenda. Na aproximação escalar de Fraunhofer,

$$I(\theta )=I_{0}\operatorname {sinc} ^{2}\left({\frac {\pi d}{\lambda }}\sin \theta \right),$$

em que $I_{0}=I(0)$ é a intensidade do máximo central e $\operatorname {sinc} u=\sin u/u$ é a função sinc não normalizada. Em $u=0$, seu valor é definido pelo limite, igual a um. A escala $I_{0}$ depende da iluminação e da geometria de observação.

Para observar esse perfil por propagação livre, a distância $L$ deve satisfazer a condição de campo distante, $d^{2}/(\lambda L)\ll 1$, além das condições geométricas da aproximação. Não basta que $L$ seja apenas muito maior que $d$.

Duas fendas

Ver também: Experimento da dupla fenda

As franjas produzidas por duas fendas são moduladas pelo envelope de difração de cada abertura.

Quando duas fendas idênticas são iluminadas por uma onda plana coerente, o padrão combina a difração de cada fenda com a interferência entre suas contribuições. Para incidência normal, fendas de largura $a$ e separação entre centros $d$, a distribuição de intensidade no regime de Fraunhofer pode ser escrita como

$$I(\theta )=I_{0}\cos ^{2}\beta \left({\frac {\sin \alpha }{\alpha }}\right)^{2},$$

com

$$\alpha ={\frac {\pi a}{\lambda }}\sin \theta ,\qquad \beta ={\frac {\pi d}{\lambda }}\sin \theta .$$

Aqui, $I_{0}$ é a intensidade do máximo central do conjunto das duas fendas. O fator $\cos ^{2}\beta$ produz as franjas de interferência, enquanto $(\sin \alpha /\alpha )^{2}$ forma o envelope de difração. A redução da razão $a/d$ aumenta a quantidade de franjas contidas no máximo central desse envelope.

Abertura circular

Ver artigo principal: Disco de Airy

Padrão de Airy calculado para uma abertura circular. A região central clara é o disco de Airy.

Na aproximação de Fraunhofer, uma abertura circular iluminada uniformemente por uma onda plana produz um máximo central circular acompanhado de anéis. A região central, delimitada pelo primeiro mínimo, é o disco de Airy. A distribuição de intensidade do padrão é

$$I(\theta )=I_{0}\left[{\frac {2J_{1}(ka\sin \theta )}{ka\sin \theta }}\right]^{2},$$

em que $a$ é o raio da abertura, $k=2\pi /\lambda$ é o número de onda e $J_{1}$ é a função de Bessel de primeira espécie e ordem um. O valor no eixo é obtido pelo limite e corresponde a $I_{0}$. Quanto menor a abertura, maior é a extensão angular do máximo central.

Essa expressão não deve ser extrapolada sem ressalvas para orifícios de dimensões próximas ou inferiores ao comprimento de onda. Nessa escala, a polarização e as condições eletromagnéticas na abertura podem exigir um tratamento vetorial.

Limite de difração e resolução

Imagens de duas fontes pontuais com separações decrescentes, de cima para baixo. A imagem central corresponde ao critério de Rayleigh. A escala de brilho é não linear para tornar os anéis visíveis.

Uma abertura finita não produz uma imagem perfeitamente pontual de uma fonte pontual. Para uma abertura circular de diâmetro $D$, o primeiro mínimo do padrão de Airy ocorre, para pequenos ângulos, aproximadamente em

$$\theta \simeq 1{,}22{\frac {\lambda }{D}},$$

com $\theta$ em radianos. O critério de Rayleigh usa essa relação para estabelecer uma separação angular convencional entre duas fontes pontuais incoerentes. Elas estão no limite de resolução desse critério quando o máximo central da imagem de uma coincide com o primeiro mínimo da imagem da outra. Trata-se de uma referência para sistemas limitados por difração, sem aberrações, e não de uma fronteira absoluta para toda técnica de medição ou de formação de imagens.

Em microscopia óptica, a resolução também depende da abertura numérica da objetiva. Técnicas de microscopia de super-resolução empregam mecanismos que permitem recuperar informação espacial além do limite convencional da formação de imagens de fluorescência em campo distante.

Princípio de Babinet

Ver artigo principal: Princípio de Babinet

Uma tela com um orifício e um obstáculo opaco de igual forma e tamanho são complementares. Na aproximação escalar, suas funções de transmissão somam-se à de um plano inteiramente aberto. Por linearidade, os campos difratados satisfazem

$$E_{\mathrm {opaco} }+E_{\mathrm {abertura} }=E_{0},$$

em que $E_{0}$ é o campo na ausência de obstáculo. Esse é o princípio de Babinet. Nas regiões em que $E_{0}$ é nulo, os campos das duas configurações têm sinais opostos e a mesma intensidade. No regime de Fraunhofer, isso permite comparar os padrões de uma abertura e de seu obstáculo complementar fora da contribuição do feixe direto.

A equivalência depende das aproximações usadas. Interações com as superfícies podem alterar os padrões de ondas de matéria, como ocorreu em testes com átomos de hélio difratados por estruturas complementares.

Borda de faca

O efeito de borda de faca, ou difração por borda de faca, ocorre quando um obstáculo de borda bem definida intercepta parte de uma onda. Esse modelo pode ser usado para representar, aproximadamente, a propagação de ondas de rádio junto a uma montanha ou à borda de um edifício.

A difração por uma borda está relacionada ao problema do semiplano, resolvido por Arnold Sommerfeld. Uma generalização é o problema da cunha, formulado como um problema de valor de contorno em coordenadas cilíndricas. Joseph B. Keller introduziu coeficientes de difração em sua teoria geométrica da difração. Em 1974, Prabhakar Pathak e Robert Kouyoumjian desenvolveram uma formulação uniforme que evita as singularidades dos coeficientes de Keller nas regiões de transição entre luz e sombra. Essa abordagem integra a teoria uniforme da difração.

• 
  Difração em uma borda metálica abrupta.
• 
  Propagação junto a uma transição gradual de condutividade, que reduz as franjas em comparação com uma borda abrupta.

Redes

Ver artigo principal: Rede de difração

Demonstração de uma rede de difração.

Uma rede de difração é um componente com uma estrutura periódica. A posição das ordens difratadas depende do período da rede, do comprimento de onda e da direção de incidência. Para uma rede de transmissão com o mesmo meio dos dois lados, pode-se adotar a convenção de ângulos orientados em que a ordem sem desvio tem $\theta _{m}=\theta _{i}$. Nessa convenção, a equação da rede é

$$d\left(\sin \theta _{m}-\sin \theta _{i}\right)=m\lambda ,$$

em que $d$ é o período da rede, $\theta _{i}$ é o ângulo de incidência e $m$ é um inteiro, positivo, negativo ou nulo. Para incidência normal,

$$d\sin \theta _{m}=m\lambda .$$

Outras convenções geométricas, sobretudo em redes de reflexão, podem levar a uma soma entre os senos. A equação determina as direções permitidas das ordens propagantes, mas não garante que todas tenham intensidade diferente de zero. A eficiência de cada ordem depende da forma dos elementos e de suas propriedades ópticas.

Para elementos idênticos e iluminação uniforme, o campo difratado é o produto da amplitude de um elemento pelo fator de interferência do conjunto. A intensidade é, assim, modulada pelo envelope de difração de cada elemento. A convolução entra na descrição espacial da abertura, formada pela repetição de um elemento em posições periódicas, e se transforma em um produto no domínio de Fourier. Redes com duas e cinco fendas e o mesmo espaçamento têm suas ordens principais nas mesmas direções, mas o aumento da quantidade de fendas torna esses máximos mais estreitos.

• 
  Difração de um laser vermelho por duas fendas, acima, e cinco fendas, abaixo.
• 
  Padrão de um laser de 633 nm que atravessa uma rede de 150 fendas.

Caso geral para o campo distante

Ver também: Óptica de Fourier

Uma formulação matemática da difração parte de soluções esféricas da equação de onda. No domínio da frequência, a função de Green da equação de Helmholtz pode ser definida pela convenção

$$\left(\nabla ^{2}+k^{2}\right)G(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')=-\delta ^{(3)}(\mathbf {r} -\mathbf {r} '),$$

em que $\delta ^{(3)}$ é a função delta de Dirac tridimensional. Com dependência temporal $e^{-i\omega t}$, a solução correspondente a uma onda que se afasta da fonte é

$$G(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')={\frac {e^{ik|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}{4\pi |\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}.$$

O sinal negativo no termo delta é necessário para essa escolha de sinal da função de Green. Para uma fonte na origem, a expressão se reduz a $G(r)=e^{ikr}/(4\pi r)$.

Geometria usada na aproximação de Fraunhofer. No campo distante, as diferenças de caminho dependem linearmente da posição na abertura.

Se a fonte ocupa uma região pequena em comparação com a distância de observação, pode-se expandir o comprimento do caminho. No limite de Fraunhofer,

$$G(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')\simeq {\frac {e^{ikr}}{4\pi r}}e^{-ik{\hat {\mathbf {r} }}\cdot \mathbf {r} '},$$

em que ${\hat {\mathbf {r} }}$ é o vetor unitário na direção de observação. A aproximação exige que os termos quadráticos desprezados também produzam uma variação de fase pequena, e não apenas que o tamanho da abertura seja menor que $r$.

Na teoria escalar e paraxial, o campo distante é proporcional à soma das contribuições do campo $U_{0}(x',y')$ na abertura:

$$U(\mathbf {r} )\propto {\frac {e^{ikr}}{r}}\iint _{\mathrm {abertura} }U_{0}(x',y')e^{-ik{\hat {\mathbf {r} }}\cdot \mathbf {r} '}\,dx'\,dy'.$$

Para uma tela plana a uma distância $L$, uma forma explícita da integral de Fraunhofer é

$$U(x,y,L)\simeq {\frac {e^{ikL}}{i\lambda L}}\exp \!\left[{\frac {ik}{2L}}(x^{2}+y^{2})\right]\iint U_{0}(x',y')\exp \!\left[-{\frac {i2\pi }{\lambda L}}(xx'+yy')\right]\,dx'\,dy'.$$

O campo $U_{0}$ é tomado como nulo fora da abertura. A integral é sua transformada de Fourier, avaliada nas frequências espaciais $x/(\lambda L)$ e $y/(\lambda L)$. O fator quadrático externo altera a fase, mas não a intensidade. Esta é proporcional a $|U(x,y,L)|^{2}$.

Expressões semelhantes surgem no espalhamento de ondas de matéria. Na aproximação cinemática, a amplitude de difração de elétrons depende da transformada do potencial eletrostático da amostra. Para raios X, depende da distribuição de densidade eletrônica. Quando o espalhamento múltiplo não pode ser desprezado, essa relação simples precisa ser substituída por um cálculo dinâmico.

Difração dinâmica

Ver artigos principais: Teoria dinâmica da difração e Difração cinemática

Ver também: Difração de elétrons

Geometrias de Laue, acima, e de Bragg, abaixo. O feixe difratado sai pela face oposta à entrada ou pela face de entrada do cristal, respectivamente.

Na aproximação cinemática, somam-se as ondas espalhadas pelos elementos da amostra sem considerar novos eventos de espalhamento dessas mesmas ondas. Na teoria dinâmica da difração, as ondas transmitidas e difratadas interagem ao longo da propagação no material. Esse acoplamento pode redistribuir a intensidade entre os feixes e produzir resultados diferentes dos previstos por um único espalhamento.

A teoria dinâmica é empregada na difração de raios X por cristais de alta perfeição e em muitos experimentos com elétrons, que interagem fortemente com a matéria. A necessidade desse tratamento depende da interação, da espessura e da estrutura da amostra, não apenas do comprimento de onda. O espalhamento múltiplo da luz também ocorre em estruturas periódicas, como opalas e cristais fotônicos.

Difração de ondas de matéria

Ver também: Onda de matéria, Difração de nêutrons, e Difração de elétrons

O acúmulo de detecções individuais de elétrons forma um padrão de interferência.

Na teoria quântica, partículas apresentam propriedades ondulatórias e podem sofrer difração. Os padrões produzidos por elétrons e nêutrons estão entre as confirmações experimentais desse comportamento. A relação de de Broglie entre comprimento de onda e momento linear é

$$\lambda ={\frac {h}{p}},$$

em que $h$ é a constante de Planck e $p$ é o módulo do momento linear. A relação também é válida no regime relativístico. Para velocidades pequenas em comparação com a da luz, pode-se usar $p\simeq mv$. Um átomo de sódio que se desloque a cerca de 300 m/s, por exemplo, tem comprimento de onda de de Broglie de aproximadamente 60 picômetros.

A difração de ondas de matéria foi observada com elétrons, nêutrons, átomos e moléculas. Em 1999, um experimento com moléculas de C₆₀ produziu um padrão de interferência após sua passagem por uma rede material. Em janeiro de 2026, foi publicada a observação de interferência de ondas de matéria com nanopartículas de sódio contendo mais de 7.000 átomos e massas superiores a 170.000 daltons. O experimento empregou redes formadas por ondas estacionárias de luz ultravioleta em um interferômetro de Talbot-Lau.

Feixes de partículas com comprimentos de onda comparáveis ou menores que os espaçamentos atômicos permitem estudar a estrutura de sólidos e moléculas. A difração de nêutrons e a difração de elétrons exploram interações diferentes com a matéria, fornecendo informações complementares sobre as amostras.

Difração de Bragg

Ver também: Lei de Bragg

Padrão de difração de raios X por um cristal de proteína. As posições e intensidades das reflexões são usadas na análise estrutural.

Geometria da lei de Bragg. O ângulo $\theta$ é medido entre o feixe e os planos cristalinos, separados por uma distância $d$.

Em um cristal, a organização periódica dos átomos produz interferência construtiva em determinadas direções. A condição geométrica pode ser expressa pela lei de Bragg, que considera a diferença de caminho entre ondas espalhadas por planos cristalinos paralelos.

$$m\lambda =2d\sin \theta .$$

Nessa expressão, $\lambda$ é o comprimento de onda, $d$ é a distância entre os planos e $m$ é um inteiro positivo, chamado ordem da reflexão. O ângulo $\theta$ é medido entre a direção incidente e os planos cristalinos. O ângulo entre o feixe incidente e o difratado é $2\theta$.

A condição de Bragg é usada na difração de raios X e na difração de ondas de matéria, como nêutrons e elétrons. As posições das reflexões fornecem informações sobre os espaçamentos cristalinos. Para determinar a estrutura atômica, também são necessárias informações de intensidade e um tratamento do espalhamento produzido pelos átomos da amostra.

Cristais de tamanho finito produzem reflexões com largura finita, que aumenta à medida que diminui o tamanho das regiões cristalinas coerentes. A lei de Bragg, sozinha, não fornece as intensidades dos feixes. O cálculo pode exigir correções para o tamanho e a forma dos cristalitos ou um tratamento dinâmico do espalhamento, sobretudo com elétrons e cristais espessos ou muito perfeitos.

Coerência

Ver artigo principal: Luz coerente

Variação da intensidade quando se altera o atraso entre duas cópias de uma onda com tempo de coerência finito. O contraste das oscilações diminui para atrasos maiores.

A visibilidade das franjas depende da coerência entre as contribuições que chegam ao detector. Ondas que percorrem caminhos diferentes e chegam ao mesmo tempo podem ter sido emitidas em instantes diferentes. Se a fase da fonte variar durante esse intervalo, a relação de fase entre as contribuições também mudará. O detector registra uma intensidade média, e as franjas podem perder contraste.

O comprimento de coerência expressa uma escala de distância ao longo da qual essas correlações se mantêm. Diferenças de caminho pequenas em comparação com essa escala favorecem a observação de franjas. A redução do contraste não é, em geral, uma transição abrupta em um único comprimento, pois depende do espectro da fonte e da forma da função de coerência. Na luz emitida em uma transição entre níveis de energia atômicos, o tempo de vida do estado excitado participa da determinação da largura espectral e da coerência temporal, embora outros mecanismos de alargamento também possam atuar.

Uma fonte extensa pode apresentar baixa coerência entre pontos distintos de uma seção transversal do feixe. No experimento da dupla fenda, se os campos nas duas fendas forem mutuamente incoerentes, desaparecem as franjas de interferência entre elas. A intensidade observada é a soma das intensidades produzidas por cada fenda separadamente, e esses padrões podem se sobrepor na tela. A perda de franjas por incoerência não significa que cada contribuição tenha deixado de sofrer difração.

Para elétrons, nêutrons e átomos, a coerência também depende da preparação do feixe. Em uma descrição por pacotes de ondas, a extensão espacial e a sobreposição dos pacotes entram no cálculo da interferência. O tamanho físico de uma partícula, por si só, não determina seu comprimento de coerência.

Artigos relacionados à difração

• Teoria dinâmica da difração
• Difração de elétrons
• Difração de Fraunhofer
• Difração de Fresnel
• Difração de elétrons em gases
• Difração de incidência rasante
• Espalhamento de átomos de hélio
• Difração cinemática
• Difração de elétrons de baixa energia
• Difração de nêutrons
• Difração de pó
• Difração de elétrons de alta energia por reflexão
• Difração de raios X

Ver também

• Nuvem iridescente, cores produzidas por pequenas gotículas ou cristais em nuvens
• Imageador de Fresnel, sistema de formação de imagens baseado em elementos difrativos
• Número de Fresnel, parâmetro usado na distinção entre os regimes de Fresnel e Fraunhofer
• Zona de Fresnel, região geométrica usada na análise da propagação de ondas
• Linha de Kikuchi, padrão observado na difração de elétrons em cristais
• Pticografia, método de formação de imagens a partir de padrões de difração
• Princípio da superposição, regra usada para somar amplitudes de ondas
• Experimento da dupla fenda, experimento que reúne interferência e difração
• Interferência, superposição de ondas que produz máximos e mínimos de intensidade
• Óptica de Fourier, tratamento da propagação e da formação de imagens por transformadas de Fourier
• Refração, mudança da direção de propagação quando uma onda atravessa meios diferentes
• Reflexão, retorno de uma onda ao encontrar uma interface

Ligações externas

• "Difração e interferência", roteiro experimental do Instituto de Física da Universidade de São Paulo
• The Feynman Lectures on Physics, vol. I, cap. 30: "Diffraction"
• Scattering and diffraction, material sobre cristalografia e difração
• Using a CD as a diffraction grating, demonstração no YouTube
• Using a CD as a diffraction grating, vídeo de Rhett Allain no YouTube