Точки Лагранжа

Схема розташування точок Лагранжа

Контури ефективного потенціалу, зумовленого гравітацією та відцентровою силою, в обертовій системі відліку двох тіл. Стрілки показують напрямок спадання потенціалу поблизу п’яти точок Лагранжа — до них (червоним) і від них (синім). Парадоксально, але точки L₄ і L₅ є максимумами потенціалу. У самих цих точках сили врівноважені.

Приклад космічного апарата в точці L₂ системи Сонце—Земля — зонд WMAP
      WMAP       Земля

Точки Лагранжа, також відомі як точки лібрації, — 5 точок в орбітальній конфігурації, де тіло з незначною масою, що зазнає тільки гравітаційного впливу двох гравітаційно пов'язаних масивних тіл, буде перебувати у незмінній позиції щодо них. Точки Лагранжа є розв'язками обмеженої задачі трьох тіл.

У майже будь-якій точці простору ці два масивні тіла створюють неврівноважену гравітаційну силу, яка змінює орбіту об’єкта, що там перебуває. У точках Лагранжа гравітаційні сили двох великих тіл і відцентрова сила врівноважують одна одну. Тому ці точки можуть бути зручним місцем для розміщення супутників, оскільки для підтримання потрібної орбіти необхідні лише мінімальні корекції орбіти, а отже й мінімальні витрати палива.

Для будь-якої пари тіл, що обертаються одне навколо одного, існує п’ять точок Лагранжа — L₁–L₅, які лежать у площині орбіти двох великих тіл. У системі Сонце—Земля є п’ять точок Лагранжа, і ще п’ять — у системі Земля—Місяць. Точки L₁, L₂ і L₃ лежать на прямій, що проходить через центри двох великих тіл, а L₄ і L₅ утворюють рівносторонні трикутники з двома великими тілами. Якщо відношення мас двох тіл достатньо велике, точки L₄ і L₅ є стійкими точками, тобто об’єкти можуть стійко залишатися в них або обертатися навколо них. Біля точок L₄ і L₅ деяких планет відносно Сонця розташовані троянські астероїди; у Юпітера відомо понад мільйон таких троянців.

Деякі точки Лагранжа використовують у космічних дослідженнях. Дві важливі точки в системі Сонце—Земля — це L₁ між Сонцем і Землею та L₂ на тій самій прямій по інший бік Землі; обидві вони розташовані далеко за межами орбіти Місяця. В точці L₁ розміщують космічні опарати для спостереження Землі, щоб вони весь час дивилися на її денну півкулю, або для спостереження Сонця. У точці L₂ - астрофізичні інструменти для спостереження далекого космосу (такі як WMAP, Gaia, Джеймс Вебб, Евклід), щоб було легше одним екраном захистити їх від світла і тепла Сонця, Землі та Місяця. Точки L₁ і L₂ розташовані приблизно за 1,5 млн км від Землі.

Історія

Три колінеарні точки Лагранжа (L₁, L₂, L₃) відкрив швейцарський математик Леонард Ейлер близько 1750 року — за десятиліття до того, як італійсько-французький математик Жозеф-Луї Лагранж відкрив дві інші.

У 1772 році Лагранж опублікував «Нарис про задачу трьох тіл». У першому розділі він розглянув загальну задачу трьох тіл. У другому розділі він показав два спеціальні розв’язки зі сталою конфігурацією — колінеарний і рівносторонній — для будь-яких трьох мас на колових орбітах.

Загальний огляд точок Лагранжа

П’ять точок Лагранжа позначають і визначають так:

Точка L₁

Точка L₁ лежить на прямій, що проходить через два великі тіла масами M₁ і M₂. У цій точці гравітаційні притягання до тіл M₁ і M₂ діють в протилежні боки. Об’єкт, який обертається навколо Сонця ближче, ніж Земля, зазвичай має коротший орбітальний період, ніж Земля, - але це без урахування гравітаційного впливу Землі. Якщо об’єкт розташований між Землею і Сонцем, то гравітація Землі частково компенсує тяжіння Сонця, збільшуючи орбітальний період об’єкта. Чим ближче об’єкт до Землі, тим сильніший цей ефект. У точці L₁ орбітальний період об’єкта стає точно рівним орбітальному періоду Землі. Точка L₁ розташована приблизно за 1,5 млн кілометрів, або 0,01 а. о., від Землі у напрямку до Сонця.

Точка L₂

Точка L₂ лежить на прямій, що проходить через обидва великі тіла, за меншим із них. Тут сумарні гравітаційні сили двох великих тіл урівноважують відцентрову силу, яка діє на тіло в точці L₂. За орбітою Землі орбітальний період об’єкта навколо Сонця зазвичай був би більшим, ніж у Землі. Додаткове тяжіння Землі зменшує орбітальний період об’єкта, і в точці L₂ цей період стає рівним земному. Як і L₁, точка L₂ розташована приблизно за 1,5 млн кілометрів, або 0,01 а. о., від Землі (у напрямку від Сонця).

Точка L₃

Точка L₃ лежить на прямій, що проходить через два великі тіла, за більшим із них. У системі Сонце—Земля точка L₃ розташована по інший бік Сонця, трохи за межами орбіти Землі та дещо далі від барицентра системи Сонце—Земля, ніж сама Земля. Таке розташування зумовлене тим, що Сонце також зазнає гравітаційного впливу Землі й тому обертається навколо спільного барицентра двох тіл, який міститься всередині Сонця. Об’єкт на тій самій відстані від Сонця, що й Земля, мав би орбітальний період один рік, якби враховувалася лише гравітація Сонця. Але об’єкт, розташований по інший бік Сонця від Землі та на одній прямій із ними, відчуває і гравітацію Землі, яка трохи підсилює тяжіння Сонця; тому він має обертатися трохи далі від барицентра системи Земля—Сонце, щоб мати той самий річний період. Саме в точці L₃ сумарне тяжіння Землі й Сонця змушує об’єкт обертатися з таким самим періодом, як у Землі, навколо барицентра системи Земля—Сонце. У цьому міркуванні важливо розрізняти центр Сонця та барицентр системи Земля—Сонце. Насправді відстань між точкою L₃ і центром Сонця менша, ніж відстань між центрами Землі та Сонця.

Точки L₄ і L₅

Гравітаційні прискорення в точці L₄

Точки L₄ і L₅ лежать у третіх вершинах двох рівносторонніх трикутників у площині орбіти, спільною основою яких є пряма між центрами двох мас. При цьому точка L₄ розташована на 60° попереду меншої маси на її орбіті навколо більшої, а L₅ — на 60° позаду.

Розташування точок

Всі точки лежать у площині обертання масивних тіл. Точки, що перебувають на одній лінії з двома масивними тілами, називають колінеарними. Точки, що розташовані у вершинах рівносторонніх трикутників, основу яких утворює вісь двох основних тіл, називаються трикутними.

Колінеарні точки

L₁ — розташована між двома об'єктами, ближче до тіла меншої маси.

L₂ — розташована на лінії двох об'єктів за тілом меншої маси.

L₃ — на лінії двох об'єктів за тілом більшої маси.

Відстань від центра мас системи до цих точок наближено обчислюється за формулами:

$r_{1}=R\left[1-\left({\frac {\alpha }{3}}\right)^{1/3}\right]$

$r_{2}=R\left[1+\left({\frac {\alpha }{3}}\right)^{1/3}\right]$

$r_{3}=R\left[1+{\frac {5}{12}}\alpha \right]$

де

$\alpha ={\frac {M_{2}}{M_{1}+M_{2}}}$,

M₁ — маса масивнішого тіла,

M₂ — масса другого (менш масивного) тіла,

R — відстань між цими тілами.

У випадках, коли маса тіла M₂ настільки менша за масу M₁, що масою M₂ можна практично знехтувати (наприклад у системі Сонце—Земля, маса нашої планети менша сонячної в 332 981 раз), точки L₁ та L₂ розташовані на однаковій відстані у протилежних напрямках від M₂.

$r\approx R{\sqrt[{3}]{\frac {M_{2}}{3M_{1}}}}$

L₃ розміщується на такій же орбіті, що і M₂ з різницею в 180°.

У системі Сонце—Земля точка L₁ розташована на відстані 1,5 млн км від центру Землі, у системі Земля—Місяць — на відстані 64 500 км від супутника.

Середня відстань від Землі до Сонця $R\approx 149,6$ млн. км.

Середня відстань між центрами Землі і Місяця — $384\ 400$ км.

Трикутні точки

L₄ та L₅ розташовані симетрично щодо лінії M₁—M₂ та утворюють вершини двох рівносторонніх трикутників з основою в точках M₁ та M₂. У цьому випадку орбіта тіла незначної маси збігається з орбітою менш масивного тіла M₂. L₄ випереджає його у русі на 60°, а L₅ відстає від M₂ на 60°.

Стабільність у Лагранжевих точках

Стабільність у Лагранжевих точках системи двох тіл зі значною різницею мас (напр. Сонце — Земля). Стабільні орбіти навколо точок L₄ та L₅ позначено синіми трикутниками

Розташовані в колінеарних точках Лагранжа тіла перебувають у нестабільній рівновазі. Будь-який зсув уздовж прямої, що сполучає масивні тіла, призводить до втрати рівноваги. Тіло буде віддалятися від цього положення все далі й далі.

Попри це існують квазі-стабільні замкнені орбіти навколо точок лібрації (у системі відліку, що обертається разом із масивними тілами), принаймні, у випадку задачі трьох тіл. Це так звані гало-орбіти, перпендикулярні площині, у якій лежать орбіти масивних тіл. Якщо на рух впливають інші тіла (як це відбувається у Сонячній системі) замість замкнутої орбіти рух відбуватиметься квазіперіодичною орбітою, що має назву орбіти Ліссажу. Попри нестабільність таких орбіт космічний апарат може залишатися поблизу відповідних точок Лагранжа з невеликими витратами пального.

У троянських точках (на відміну від колінеарних) забезпечується стабільна рівновага, якщо співвідношення M₁/M₂ > 25. Таке співвідношення властиве системам Сонце—Юпітер, Сонце—Земля, Земля—Місяць та ін. У разі відхилення об'єкт рухатиметься стабільною орбітою навколо точки лібрації. Щоправда, у випадку системи Земля—Місяць ситуація значно ускладнюється впливом сонячної гравітації.

Узагальнення для еліптичних орбіт

У загальнішому випадку еліптичних орбіт стаціонарних точок не існує: вони перетворюються на «області» Лагранжа. Лагранжеві точки, побудовані для кожного моменту часу (як для колових орбіт), утворюють стаціонарні еліптичні орбіти, подібні до орбіт масивних тіл. Тіло на орбіті Лагранжевої точки має такий же період обертання, що і два масивні тіла (як і у випадку колових орбіт). Цей факт не залежить від того, чи колова орбіта, а це означає, що еліптичні орбіти, окреслені точками Лагранжа, є розв'язком задачі трьох тіл.

Значення

Ілюстрація зіткнення Теї з Землею, та утворення Місяця.

• Троянські астероїди: 1906 року нім. астроном Макс Вольф відкрив астероїд 588 Ахілес, що перебуває в т. L₄ в системі тіл Сонце — Юпітер. Таким чином було отримано перше фактичне підтвердження теоретичних висновків Лагранжа. Протягом XX століття в точках L₄ і L₅ було відкрито кілька тисяч астероїдів. Склалася традиція що астероїдам, які обганяють Юпітер на 60° і обертаються поблизу точки L₄, надавати імена грецьких героїв Іліади (ахейців), а тим, що відстають (розташовані поблизу L₅) надавати імена троянців. Коли говорять узагальнено про обидві групи, то вживається термін троянські астероїди або ж троянці.

Троянські астероїди виявлено також зокрема у Марса та Нептуна. Також супутник Сатурна — Тефія має двох власних троянців: Телесто та Каліпсо.

2010 року було сфотографовано, а 2011 — обчислено орбіту 2010 TK₇. Наразі це єдиний відомий троянський астероїд Землі. 

• Утворення Місяця: Згідно з поширеною теорією походження Місяця, він утворився внаслідок зіткнення Землі з космічним тілом, розміром приблизно з Марс. Чотири американські астрофізики: Ел Камерон (англ. Al Cameron), Вільям Вард (англ. William Ward), Вільям Хартманн (англ. William Hartmann) і Дональд Девіс (англ. Donald Davis) 1975 року висунули гіпотезу, що в одній з точок Лагранжа L₄ або L₅ системи Сонце—Земля сформувалася планетозималь Тейя. Внаслідок стабільності орбіти впродовж тривалого часу — близько ста мільйонів років це тіло змогло набрати масу приблизно з марсіанську. Проте в підсумку Тейя зблизилася з Землею та в результаті зіткнення вибила з неї речовину, з якої й утворився земний супутник .

• Троянські планети: 2011-го року орбітальний телескоп Кеплер транзитним методом відкрив у планетарній системі KOI-730 дві екзо-планети, що обертаються навколо материнської зорі за 9,8 діб у взаємних точках Лагранжа L₄ та L₅. Комп'ютерне моделювання прогнозує стабільність їхніх орбіт на наступні 2,22 мільйони років .

Зоря зліва, заповнила свою порожнину Роша і через точку L₁ скидає свою матерію зорі з правого боку

• Міжзоряний вітер: У тісних подвійних зоряних системах може відбуватися перетікання речовини з однієї зірки на іншу. Інтенсивне перетікання відбувається за умови, що одна з зір заповнила свою порожнину Роша. Місце дотику цих порожнин є точкою L₁, де врівноважується гравітаційний вплив обох тіл. Оскільки зорі більшої маси еволюціонують швидше, така зоря першою перетворюється на гіганта і може заповнити свою порожнину. Через точку L₁ зоряний газ починає перетікати на менш масивну компактну компоненту. Після втрати масивною компонентою значної частини оболонки перетікання речовини припиняється, та іноді навіть трапляються випадки зворотного перетікання .

Використання

Гало-орбіта навколо L₁ космічного зонду ACE

Точка L₁ системи Земля—Сонце перебуває на відстані 1,5 мільйона км у напрямку Сонця, тому є зручною для його дослідження. Космічні апарати у цій точці здебільшого призначені для аналізу сонячної активності:

• 12 серпня 1978 року NASA і ESA спільно запустили на гало-орбіту космічний апарат ISEE-3, місія завершилася у травні 1997 року. Апарат вивчав взаємодію магнітного поля Землі і сонячного вітру.
• 1 листопада 1994 року з мису Канаверал було запущено зонд WIND, який працював до квітня 2008-го.
• 2 грудня 1995 року було здійснено запуск космічної станції SOHO для спостереження за Сонцем.
• 25 серпня 1997 року виведено на гало-орбіту навколо точки L₁ зонд ACE. Орієнтовний час його роботи — до 2024.
• 8 серпня 2001 стартував проект Genesis, на гало-орбіті навколо точки L₁. Після успішного збору проб сонячного вітру 8 вересня він повернувся на Землю, але не зміг здійснити м'яку посадку і врізався в поверхню планети. Проте аналіз уламків дозволив отримати деякі дані щодо зібраних матеріалів.

Точка L₂ системи Земля—Сонце зручна для спостережень Всесвіту, оскільки Сонце, Земля та Місяць перебувають разом на одній невеликій ділянці неба і майже весь небосхил залишається вільним для спостережень, а сонячне опромінення є помірно стабільним (на відміну від навколоземної орбіти):

• 30 червня 2001 було запущено WMAP, який досі активний. Мета — дослідження реліктового випромінювання
• 14 травня 2009 року Європейським космічним агентством із космодрому Куру запущено ракету-носій, що доправила в околицю точки L₂ дві астрономічні космічні лабораторії — космічний телескоп Гершель, що працює в інфрачервоному діапазоні, і телескоп Планка — для складання карти реліктового випромінювання.
• 2013 року ЄКА було здійснено запуск космічного телескопа Gaia, наступника Гіппаркоса, для визначення паралаксів одного мільярда зірок Галактики і складання просторової карти Галактики, відкриття екзо-планет, а також всебічного спостереження малих тіл Сонячної системи, галактик та віддалених квазарів.
• 2021 року НАСА здійснено запуск космічного телескопа ім. Джеймса Вебба.

Точка L₃ специфічна тим, що її ніколи не видно з Землі. Але жодних проектів її застосування наразі не відомо.

Точки L₄ та L₅ є легкодоступними з погляду космонавтики. Для запуску в ці точки космічного апарата потрібно навіть менше палива, аніж для доставки на Місяць.

• 26 жовтня 2006-го НАСА здійснила запуск проекту STEREO. Це два ідентичні космічні апарати (A і B) для стереоскопічного вивчення Сонця, а також виявлення, чи існують троянські астероїди в системі Сонце—Земля. Кінцевою метою є точки, що обганяють (A) і відстають (B) від Землі на 90°, однак їхня місія включала тривале перебування поблизу точок L₄ (A) та L₅ (B), де вони перебували значну частину 2009-го року.