Precessão

Precessão é a mudança na orientação do eixo de rotação de um corpo em rotação. Se o eixo de rotação de um corpo também gira em torno de um segundo eixo, diz-se que o corpo precessiona em torno desse segundo eixo. Em um referencial adequado, ela pode ser definida como uma mudança no primeiro dos ângulos de Euler, enquanto o terceiro ângulo de Euler define a rotação propriamente dita. Um movimento no qual o segundo ângulo de Euler muda é chamado de nutação. Na física, há dois tipos de precessão: livre de torque e induzida por torque.

Em astronomia, precessão pode designar mudanças lentas nos parâmetros de rotação ou de órbita de um corpo astronômico. Um exemplo é a mudança contínua na orientação do eixo de rotação da Terra, chamada de precessão dos equinócios.

Precessão livre de torque ou com torque desprezado

A precessão livre de torque pressupõe que nenhum momento externo, ou torque, seja aplicado ao corpo. Nessa forma de precessão, o momento angular permanece constante, mas o vetor da velocidade angular pode mudar de orientação. Para um corpo rígido, o tensor de inércia permanece fixo em coordenadas presas ao corpo, mas sua representação em um referencial externo muda conforme o corpo gira. O vetor do momento angular e o vetor da velocidade angular não precisam apontar na mesma direção. Eles ficam paralelos quando a rotação ocorre em torno de um dos eixos principais de inércia. Fora desses eixos, o momento angular pode permanecer fixo no espaço enquanto a velocidade angular e os eixos do corpo mudam de direção, produzindo a precessão livre.^[1]

A matriz de inércia é composta pelos momentos de inércia de um corpo calculados em relação a eixos de coordenadas distintos, por exemplo, $x$ , $y$ e $z$ . Se um objeto for assimétrico em relação a seu eixo principal de rotação, os componentes de seu momento de inércia em um referencial externo mudam conforme sua orientação. Como o momento angular se conserva na ausência de torque externo, as componentes da velocidade angular também variam.

A taxa de precessão livre de torque de um objeto com eixo de simetria, como um disco, que gira em torno de um eixo não alinhado com esse eixo de simetria pode ser calculada da seguinte forma:^[2] ${\boldsymbol {\omega }}_{\mathrm {p} }={\frac {{\boldsymbol {I}}_{\mathrm {s} }{\boldsymbol {\omega }}_{\mathrm {s} }}{{\boldsymbol {I}}_{\mathrm {p} }\cos({\boldsymbol {\alpha }})}}$ onde ${\boldsymbol {\omega }}_{\mathrm {p} }$ é a taxa de precessão, ${\boldsymbol {\omega }}_{\mathrm {s} }$ é a taxa de rotação em torno do eixo de simetria, ${\boldsymbol {I}}_{\mathrm {s} }$ é o momento de inércia em torno do eixo de simetria, ${\boldsymbol {I}}_{\mathrm {p} }$ é o momento de inércia em torno de qualquer um dos outros dois eixos principais perpendiculares, que são iguais, e ${\boldsymbol {\alpha }}$ é o ângulo entre a direção do momento de inércia e o eixo de simetria.^[3]

Quando um objeto não é perfeitamente rígido, a dissipação inelástica tende a amortecer a precessão livre de torque,^[4] e o eixo de rotação tende a se alinhar com um dos eixos de inércia do corpo.

Para um objeto sólido genérico sem eixo de simetria, a evolução de sua orientação, representada, por exemplo, por uma matriz de rotação ${\boldsymbol {R}}$ que transforma coordenadas internas em externas, pode ser simulada numericamente. Dado o tensor de inércia interno fixo ${\boldsymbol {I}}_{0}$ do objeto e seu momento angular externo fixo ${\boldsymbol {L}}$ , a velocidade angular instantânea é ${\boldsymbol {\omega }}\left({\boldsymbol {R}}\right)={\boldsymbol {R}}{\boldsymbol {I}}_{0}^{-1}{\boldsymbol {R}}^{T}{\boldsymbol {L}}$ A precessão ocorre ao se recalcular repetidamente ${\boldsymbol {\omega }}$ e aplicar um pequeno vetor de rotação ${\boldsymbol {\omega }}\,dt$ durante o curto intervalo $dt$ , por exemplo: ${\boldsymbol {R}}_{\text{new}}=\exp \left(\left[{\boldsymbol {\omega }}\left({\boldsymbol {R}}_{\text{old}}\right)\right]_{\times }dt\right){\boldsymbol {R}}_{\text{old}}$ para a matriz antissimétrica $[{\boldsymbol {\omega }}]_{\times }$ . Os erros introduzidos por passos de tempo finitos tendem a aumentar a energia cinética de rotação: $E\left({\boldsymbol {R}}\right)={\boldsymbol {\omega }}\left({\boldsymbol {R}}\right)\cdot {\frac {\boldsymbol {L}}{2}}$ Essa tendência não física pode ser compensada pela aplicação repetida de um pequeno vetor de rotação ${\boldsymbol {v}}$ perpendicular a ${\boldsymbol {\omega }}$ e ${\boldsymbol {L}}$ , observando-se que $E\left(\exp \left(\left[{\boldsymbol {v}}\right]_{\times }\right){\boldsymbol {R}}\right)\approx E\left({\boldsymbol {R}}\right)+\left({\boldsymbol {\omega }}\left({\boldsymbol {R}}\right)\times {\boldsymbol {L}}\right)\cdot {\boldsymbol {v}}$

Precessão induzida por torque

A precessão induzida por torque, ou precessão giroscópica, é o fenômeno em que o eixo de rotação de um objeto giratório, como um giroscópio, traça um cone no espaço quando um torque externo é aplicado. O fenômeno é comum em um pião, mas qualquer objeto em rotação pode sofrer precessão. Se a rapidez da rotação e o módulo do torque externo forem constantes, o eixo de rotação se moverá em ângulo reto em relação à direção na qual, intuitivamente, o torque externo faria o eixo se mover. No caso de um pião, seu peso atua para baixo a partir do centro de massa, enquanto a força normal do solo atua para cima no ponto de contato com o suporte. Essas duas forças opostas produzem um torque que faz o pião precessionar.

O dispositivo mostrado à direita é montado em uma suspensão cardã. De dentro para fora, há três eixos de rotação: o cubo da roda, o eixo da suspensão e o pivô vertical.

Para distinguir os dois eixos horizontais, a rotação em torno do cubo da roda será chamada de giro, e a rotação em torno do eixo da suspensão será chamada de inclinação. A rotação em torno do eixo vertical do pivô será chamada de rotação.

Primeiro, imagine que todo o dispositivo esteja girando em torno do eixo vertical do pivô. Em seguida, acrescenta-se o giro da roda em torno do cubo. Imagine que o eixo da suspensão esteja travado, de modo que a roda não possa se inclinar. O eixo da suspensão contém sensores que medem se há um torque em torno dele.

Na figura, uma parte da roda recebe o nome $dm_{1}$ . No instante mostrado, $dm_{1}$ está no perímetro do movimento de rotação em torno do eixo vertical do pivô. Essa parte, portanto, tem grande velocidade angular em relação à rotação em torno do pivô. À medida que $dm_{1}$ é forçado para mais perto do eixo do pivô, devido à continuação do giro da roda, a força de Coriolis faz com que, em relação ao eixo vertical, $dm_{1}$ tenda a se mover na direção da seta superior esquerda do diagrama, mostrada a 45°, no sentido da rotação em torno do pivô.^[5] A parte $dm_{2}$ da roda se afasta do eixo do pivô, e uma força, novamente uma força de Coriolis, atua na mesma direção que no caso de $dm_{1}$ . As duas setas apontam para a mesma direção.

O mesmo raciocínio vale para a metade inferior da roda, mas ali as setas apontam na direção oposta à das setas superiores. Considerando a roda inteira, surge um torque em torno do eixo da suspensão quando se acrescenta o giro da roda à rotação em torno do eixo vertical.

O torque em torno do eixo da suspensão surge sem atraso. A resposta é instantânea.

Na explicação acima, o sistema foi mantido sem mudanças ao impedir a inclinação em torno do eixo da suspensão. No caso de um pião, quando ele começa a se inclinar, a gravidade exerce um torque. Em vez de tombar, porém, o pião se inclina um pouco. Esse movimento muda sua orientação em relação ao torque aplicado. O resultado é que o torque exercido pela gravidade, por meio da inclinação, provoca precessão giroscópica, que por sua vez produz um torque contrário ao da gravidade, em vez de simplesmente fazer o pião cair de lado.

A precessão e outros efeitos giroscópicos afetam o desempenho de uma bicicleta em alta velocidade. A precessão também é o mecanismo por trás das bússolas giroscópicas.

Clássica (newtoniana)

A precessão é a mudança da velocidade angular e do momento angular produzida por um torque. A equação geral que relaciona o torque à taxa de variação do momento angular é ${\boldsymbol {\tau }}={\frac {\mathrm {d} \mathbf {L} }{\mathrm {d} t}}$ onde ${\boldsymbol {\tau }}$ e $\mathbf {L}$ são, respectivamente, os vetores de torque e de momento angular.

Para qualquer vetor $\mathbf {N}$ de módulo constante que gira em torno de um eixo com velocidade angular ${\boldsymbol {\Omega }}$ , sua taxa de variação pode ser escrita como ${\frac {\mathrm {d} \mathbf {N} }{\mathrm {d} t}}={\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {N}$ Aplicada ao momento angular durante uma precessão estacionária, essa relação dá ${\boldsymbol {\tau }}={\boldsymbol {\Omega }}_{\mathrm {p} }\times \mathbf {L}$ onde ${\boldsymbol {\Omega }}_{\mathrm {p} }$ é a velocidade angular da precessão.^[1]

Pela forma como os vetores de torque são definidos, o torque é um vetor perpendicular ao plano das forças que o produzem. O vetor do momento angular, portanto, muda perpendicularmente a essas forças. Dependendo de como as forças são produzidas, elas frequentemente giram junto com o vetor do momento angular, criando então uma precessão circular.

Nessas condições, a velocidade angular da precessão é dada por:^[6]

{\boldsymbol {\omega }}_{\mathrm {p} }={\frac {\ mgr}{I_{\mathrm {s} }{\boldsymbol {\omega }}_{\mathrm {s} }}}={\frac {\tau }{I_{\mathrm {s} }{\boldsymbol {\omega }}_{\mathrm {s} }\sin(\theta )}}

onde $I_{\mathrm {s} }$ é o momento de inércia, ${\boldsymbol {\omega }}_{\mathrm {s} }$ é a velocidade angular de giro em torno do eixo de rotação, $m$ é a massa, $g$ é a aceleração da gravidade, $\theta$ é o ângulo entre o eixo de rotação e o eixo de precessão, e $r$ é a distância entre o centro de massa e o pivô. O vetor de torque tem origem no centro de massa. Usando $\omega =2\pi /T$ , obtém-se que o período da precessão é:^[6] $T_{\mathrm {p} }={\frac {4\pi ^{2}I_{\mathrm {s} }}{\ mgrT_{\mathrm {s} }}}={\frac {4\pi ^{2}I_{\mathrm {s} }\sin(\theta )}{\ \tau T_{\mathrm {s} }}}$

Aqui, $I_{\mathrm {s} }$ é o momento de inércia, $T_{\mathrm {s} }$ é o período de giro em torno do eixo de rotação e ${\boldsymbol {\tau }}$ é o torque. Em geral, porém, o problema é mais complicado.

Relativística (einsteiniana)

As teorias especial e geral da relatividade fornecem três tipos de correção à precessão newtoniana, descrita acima, de um giroscópio próximo a uma grande massa como a Terra:

Precessão de Thomas, uma correção da relatividade especial que leva em conta a aceleração de um objeto, como um giroscópio, ao longo de uma trajetória curva.
Precessão de de Sitter, uma correção da relatividade geral que leva em conta a métrica de Schwarzschild do espaço curvo próximo a uma grande massa que não gira.
Precessão de Lense-Thirring, uma correção da relatividade geral que leva em conta o arrasto de referenciais pela métrica de Kerr do espaço curvo próximo a uma grande massa em rotação.

As geodésicas de Schwarzschild, às vezes chamadas de precessão de Schwarzschild, são usadas para prever a precessão anômala do periélio dos planetas, em especial para a previsão precisa da precessão apsidal de Mercúrio.

Precessão de Larmor

Um momento magnético submetido a um campo magnético sofre um torque que pode fazer o momento angular associado precessionar em torno da direção do campo. Se os módulos do momento magnético e do momento angular forem $\mu$ e $J$ , a velocidade angular da precessão, em módulo, é $\omega _{\mathrm {L} }={\frac {\mu }{J}}B$ onde $B$ é o módulo do campo magnético. Esse movimento recebe o nome de precessão de Larmor.^[7]

Astronomia

Em astronomia, precessão pode designar mudanças lentas, contínuas e provocadas pela gravidade no eixo de rotação ou na trajetória orbital de um corpo astronômico. A precessão dos equinócios, a precessão do periélio, as mudanças da inclinação do eixo da Terra em relação à sua órbita e a excentricidade dessa órbita em escalas de dezenas de milhares de anos fazem parte da teoria astronômica das eras do gelo e dos ciclos de Milankovitch.

Na Terra, a combinação entre a precessão axial e a precessão apsidal muda a posição das estações em relação ao periélio e ao afélio. O ciclo combinado tem cerca de 23.000 anos em média.^[8]

Precessão axial (precessão dos equinócios)

A precessão axial é o movimento do eixo de rotação de um corpo astronômico, no qual o eixo traça lentamente um cone. No caso da Terra, esse movimento também é chamado de precessão dos equinócios. A Terra completa um ciclo de precessão axial em cerca de 25.800 anos, ou aproximadamente 1° a cada 72 anos.^[8] Nesse ciclo, as posições das estrelas mudam lentamente tanto no sistema equatorial de coordenadas quanto na longitude eclíptica. O polo norte celeste da Terra, situado a menos de 1° de Polaris, descreve um círculo em torno do polo da eclíptica, com raio angular de cerca de 23,5°.

O astrônomo da Grécia Antiga Hiparco, que viveu aproximadamente entre 190 e 120 a.C., é o primeiro astrônomo conhecido a ter reconhecido e estimado a precessão dos equinócios. Ele calculou o movimento em cerca de 1° por século, valor não muito distante do correspondente à Antiguidade, de 1,38°.^[9] Há uma pequena controvérsia sobre essa atribuição.^[10] Na China Antiga, o erudito e funcionário da dinastia Jin Yu Xi, ativo entre 307 e 345 d.C., chegou séculos depois a uma descoberta semelhante. Ele observou que a posição do Sol no solstício de inverno havia se deslocado cerca de um grau ao longo de cinquenta anos em relação à posição das estrelas.^[11]

A precessão do eixo terrestre foi mais tarde explicada pela mecânica clássica. Como a Terra é um esferoide oblato, sua forma não é esférica e apresenta um abaulamento no equador. O raio equatorial mede 6.378,137 km e o raio polar 6.356,752 km, uma diferença de cerca de 21,4 km.^[12] As forças de maré gravitacionais da Lua e do Sol aplicam torque ao abaulamento equatorial e tendem a puxá-lo para o plano da eclíptica, mas fazem com que o eixo terrestre precessione. O torque exercido pelos planetas, em particular por Júpiter, também participa do movimento.^[13]

Em astrometria, distingue-se a precessão do equador da precessão da eclíptica. A primeira corresponde ao movimento do equador médio devido principalmente aos torques do Sol e da Lua sobre a Terra. A eclíptica média também muda lentamente por causa das perturbações planetárias sobre a órbita heliocêntrica do baricentro Terra-Lua. Na terminologia mais antiga, essas duas componentes eram chamadas, respectivamente, de precessão lunissolar e precessão planetária.^[14]

Sobreposto ao movimento médio de precessão está o movimento periódico da nutação. Sua componente principal tem período de cerca de 18,6 anos e amplitude de aproximadamente 9,2 segundos de arco.^[15]

Movimento de precessão do eixo.
Precessão do equinócio em relação às estrelas distantes.
Trajetória do polo norte celeste entre as estrelas devido à precessão. Vega é a estrela brilhante próxima à parte inferior.

Precessão apsidal

As órbitas dos planetas em torno do Sol não seguem exatamente a mesma elipse a cada volta. Elas traçam uma figura semelhante a pétalas porque o eixo maior da órbita elíptica de cada planeta também precessiona dentro de seu plano orbital, em parte devido às perturbações causadas pelas mudanças nas forças gravitacionais exercidas pelos outros planetas. Esse movimento é chamado de precessão do periélio ou precessão apsidal.

Na imagem ao lado, mostra-se a precessão apsidal da Terra. Enquanto a Terra percorre sua órbita em torno do Sol, a órbita elíptica gira gradualmente. A excentricidade da elipse e a taxa de precessão da órbita foram exageradas para facilitar a visualização. A maioria das órbitas do Sistema Solar tem excentricidade muito menor e precessiona a uma taxa muito mais baixa, parecendo quase circular e quase estacionária. No caso da Terra, o ciclo da precessão apsidal dura cerca de 112.000 anos.^[8]

As diferenças entre a taxa observada de precessão do periélio de Mercúrio e a prevista pela mecânica clássica estiveram entre os testes que favoreceram a aceitação da teoria da relatividade de Albert Einstein, em especial da relatividade geral, que reproduziu corretamente a anomalia.^[16] A teoria da gravitação de Einstein acrescenta à lei de Newton um termo proporcional a $A/r^{4}$ , que fornece corretamente o excesso observado na taxa de rotação, de 43 segundos de arco por século.

Precessão nodal

Os nodos orbitais também sofrem precessão. Em órbitas de satélites artificiais terrestres, o abaulamento equatorial produz uma componente da força gravitacional fora do plano orbital e faz a linha dos nodos precessionar. O efeito causado pelo termo $J_{2}$ desaparece para uma órbita exatamente polar. Em uma órbita ligeiramente retrógrada, a taxa de precessão pode ser ajustada à revolução aparente anual do Sol, condição usada em uma órbita heliossíncrona.^[17]

Para a precessão da órbita da Lua, veja Precessão lunar.

Ver também

Nutação, oscilação periódica superposta à precessão de um eixo de rotação
Movimento polar, movimento do eixo de rotação da Terra em relação à crosta terrestre
Giroscópio, dispositivo no qual a precessão pode ser observada
Transporte paralelo, conceito geométrico relacionado à mudança de orientação de vetores

Referências

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Ligações externas

O Commons possui uma categoria com imagens e outros ficheiros sobre Precessão

Precession, no projeto From Stargazers to Starships, da NASA

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