သင်္ချာ

ဘီစီအီး ၃ ရာစုမှ ဂရိ သင်္ချာပညာရှင် ယူကလစ် (ကွန်ပါထောက်တံ ကိုင်ထားသူ) ကို ပန်းချီဆရာ ရာဖယ် က ၎င်း၏ "အေသင်သားတို့ ကျောင်းတော်" အမည်ရ နံရံဆေးရေး ပန်းချီကားကြီးတွင် စိတ်ကူးပုံဖော်ထားခြင်း ဖြစ်သည်။ ယူကလစ်၏ ပုံမှာ မည်သည့်မီဒီယာတွင်မှ မကျန်ရစ်ဘဲ ဤသရုပ်ဖော်ချက်သည် ပုံဖော်သူ အနုပညာရှင်၏ စိတ်ကူးဉာဏ် ကွန့်မြူးချက်သာ ဖြစ်သည်။

အသိပညာနှင့် စူးစမ်းလေ့လာခြင်း ဟု အနက်ဖွင့်ဆိုနိုင်သော ရှေးဂရိဝေါဟာရ μάθημα (máthēma) မှဆင်းသက်လာသည့် သင်္ချာဘာသာရပ်ကို မြန်မာဘာသာစကားဖြင့် "ရေတွက်ခြင်း" ဟု အဓိပ္ပာယ်ရသော ရှေးပါဠိဝေါဟာရမှတစ်ဆင့် "သင်္ချာ" ဟု ခေါ်ဆိုကြသည်။ သမိုင်းတစ်လျှောက်တွင် သင်္ချာ၏ သဘောသဘာဝနှင့် ပတ်သက်၍ ပုဂ္ဂိုလ်ကျော်များက ရှုထောင့်အမျိုးမျိုးဖြင့် ဖွင့်ဆိုခဲ့ကြသည်။ စွယ်စုံရပညာရှင် ဂယ်လီလီယို (Galileo) က သဘာဝတရားကို ကျမ်းတစ်စောင်ဟု တင်စားခဲ့ပြီး ၎င်းကျမ်းကို သင်္ချာဘာသာစကားဖြင့် ရေးသားထားကြောင်း ဖော်ပြခဲ့သည်။ သင်္ချာပညာရှင် ကားလ် ဖရီးဒရစ် ဂေါက်စ် (Carl Friedrich Gauss) က သင်္ချာကို သိပ္ပံပညာရပ်များ၏ ဘုရင်မအဖြစ် တင်စားခဲ့သည်။ ထို့အပြင် ဘင်ဂျမင် ပီးယားစ် (Benjamin Peirce) က သင်္ချာသည် မလွှဲမသွေဖြစ်ရမည့် ဧကန်မုချ အကျိုးရလဒ်များကို ကောက်ချက်ချသော သိပ္ပံပညာရပ်ဖြစ်ကြောင်း အဓိပ္ပာယ်ဖွင့်ဆိုခဲ့သည်။

ခေတ်ပြိုင် သင်္ချာပညာရှင်များသည် သက်သေပြချက် (proof) ဖြင့် စစ်ဆေးအတည်ပြုနိုင်သော သရုပ်မဲ့ သဘောတရားများ (abstract concepts) နှင့် ပတ်သက်သည့် ဖော်ပြချက်များ (statements) ကို ဖော်ထုတ်ကြသည်။ သို့သော်လည်း ရာစုနှစ်ပေါင်းများစွာတိုင်အောင် သင်္ချာဘာသာရပ်ကို ကိန်းများ (numbers)၊ ပမာဏများ (magnitudes) နှင့် ပုံသဏ္ဌာန်များ (forms) ဆိုင်ရာ သိပ္ပံပညာရပ်တစ်ခုအဖြစ်သာ တင်းကျပ်စွာ သတ်မှတ်ခဲ့ကြသည်။ ဤဘာသာရပ်၏ အခြေခံအကျဆုံး မူလအစသည် သမိုင်းမတင်မီခေတ် လူသားတို့၏ ကိန်းနှင့် ပုံသဏ္ဌာန်တို့တွင်ရှိသော ဆင်တူညီမှုများကို တဖြည်းဖြည်း သတိပြုမိလာခြင်းမှ ဆင်းသက်လာခြင်းဖြစ်သည်။ ၎င်းသည် တစ်ခုနှင့် အများအပြားကဲ့သို့သော ရိုးရှင်းသည့် ခြားနားချက်များကို သိမြင်မှတ်မိခြင်းမှသည် တစ်-တစ် ကိုက်ညီမှု (one-to-one correspondence) ဆိုသည့် သရုပ်မဲ့ ဂုဏ်သတ္တိ (abstract property) အထိ ဆင့်ကဲတိုးတက်လာခဲ့သည်။ အလားတူပင် ရက်ကန်းရက်ခြင်း၊ အိုးလုပ်ခြင်းနှင့် ခြင်းတောင်းရက်လုပ်ခြင်းတို့တွင် တွေ့ရသော ရှေးခေတ်လူသားတို့၏ ဒီဇိုင်းများသည် ရပ်ဝန်းဆိုင်ရာ ဆက်စပ်မှုများ၊ ထပ်တူညီမှု (congruence) နှင့် အချိုးညီမှု (symmetry) တို့အတွက် အခြေခံအလေးထားမှုကို ပြသနေပြီး ယင်းက ဂျီဩမေတြီ (geometry) အတွက် အခြေခံအုတ်မြစ်ကို ချပေးခဲ့သည်။

အစောပိုင်း သင်္ချာစနစ်များသည် အတွေ့အကြုံနှင့် လက်တွေ့အသုံးချမှုအပေါ်တွင် များစွာ အခြေခံထားသည်။ ဥပမာအားဖြင့် ရှေးခေတ် အီဂျစ်တွင် ဂျီဩမေတြီသည် မြေတိုင်းတာခြင်းနှင့် စိုက်ပျိုးမြေတိုင်းတာခြင်းအတွက် ကိရိယာတစ်ခုအနေဖြင့် အဓိက တိုးတက်လာခဲ့သည်။ ယင်းသည် နိုင်းမြစ်၏ နှစ်စဉ်ရေကြီးမှုများကြောင့် ဖြစ်ပေါ်လာရခြင်းဖြစ်သည်။ တစ်ချိန်တည်းတွင် ရှေးခေတ် ဘေဘီလုံ သင်္ချာသည် ကိန်းဂဏန်းများအပေါ် များစွာအခြေခံပြီး အဆင့်ဆင့်တွက်နည်းများ (algorithms)၊ ဇယားများနှင့် ညီမျှခြင်းများ (equations) ကို ခန့်မှန်းခြေ ဖြေရှင်းခြင်းတို့အပေါ် အာရုံစိုက်ခဲ့သည်။ ချက်ချင်း အသုံးချရန်ထက် ဉာဏ်ရည်ပိုင်းဆိုင်ရာ သိချင်စိတ်ပြင်းပြမှုက တွန်းအားပေးသည့် ပုံစံတကျ (formalized) ပြီး ကောက်ချက်ချ သိပ္ပံပညာရပ် (deductive science) တစ်ခုအနေဖြင့် သင်္ချာသည် ရှေးခေတ် ဂရိလူမျိုးများနှင့်အတူ စတင်ခဲ့သည်။ သေးလ် (Thales) နှင့် ပိုက်သာဂိုရပ်စ် (Pythagoras) ကဲ့သို့သော ပုဂ္ဂိုလ်များသည် ဤဘာသာရပ်ကို ယုတ္တိဗေဒနည်းကျ ဖွဲ့စည်းမှုဆီသို့ ရွှေ့ပြောင်းပေးခဲ့သည်ဟု အသိအမှတ်ပြုခံရသည်။ သူတို့သည် အခြေခံမူများမှတစ်ဆင့် သီအိုရမ်များ (theorems) ကို သင်္ချာနည်းကျ သက်သေပြသည့် အစောပိုင်း အစဉ်အလာများကို တည်ထောင်ခဲ့ကြသည်။ နှစ်ထောင်ပေါင်းများစွာ ကြာလာသောအခါ သင်္ချာသည် တည်ဆောက်ပုံ (structure) နှင့် သရုပ်မဲ့ ယုတ္တိဗေဒ (abstract logic) တို့၏ ကျယ်ပြန့်ပြီး အထူးပြုလွန်းသည့်အပြင် စည်းလုံးညီညွတ်သော ဘာသာစကားတစ်ခုအဖြစ်သို့ ဖြာထွက်လာခဲ့သည်။

သမိုင်းကြောင်းနှင့် ခေတ်သစ် တိုးတက်ဖြစ်ပေါ်လာမှုများ (History and Modern Developments)

ခေတ်သစ် ဂျီဩမေတြီ - ပေါင်းစပ်ခြင်း၊ ပရိုဂျက်တစ်၊ မက်ထရစ်နှင့် ဒစ်ဖရန်ရှယ် တည်ဆောက်ပုံများ (Modern Geometry: Synthetic, Projective, Metric, and Differential Structures)

ကားလ် ဖရီးဒရစ် ဂေါက်စ်

နီကိုလိုင်း လိုဘာချက်ဗ်စကီး

ယာနို့စ် ဘိုလိုင်

ယူဂျင်နီယို ဘယ်လ်ထရာမီ

ဖဲလစ် ကလိုင်း

ဩဂတ်စ် ဖာဒီနန် မိုးဘီးယပ်စ်

ဆယ့်ကိုးရာစုသည် ဂျီဩမေတြီ (geometry) တွင် တော်လှန်ရေးတစ်ရပ်ကို မြင်တွေ့ခဲ့ရပြီး ၎င်းကို တင်းကျပ်သော ယူကလစ်ဒ် ဂျီဩမေတြီ (Euclidean geometry) မူဘောင်မှ အချင်းချင်းချိတ်ဆက်နေသော ဂျီဩမေတြီစနစ်များ၏ ကျယ်ပြန့်သော စုစည်းမှုအဖြစ်သို့ အသွင်ပြောင်းပေးခဲ့သည်။ ဤစနစ်များ၏ တည်ဆောက်ပုံဆိုင်ရာ အဆင့်ဆင့်ဖွဲ့စည်းမှုသည် ယူကလစ်ဒ် ဂျီဩမေတြီကို ပုံမပျက် ရွေ့လျားမှု အသွင်ပြောင်းခြင်းများ (rigid motion transformations) အောက်ရှိ မပြောင်းလဲသော ဂုဏ်သတ္တိများ (invariants) အား လေ့လာခြင်းအဖြစ် အမျိုးအစားခွဲခြားထားသည်။ ၎င်းကို သုည ကွေးညွှတ်မှု (zero curvature) နှင့် $ds^{2}=dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}$ ဖြင့် သတ်မှတ်ထားသော မက်ထရစ် (metric) တို့ဖြင့် ဝိသေသပြုထားသည်။ ယူကလစ်ဒ်မဟုတ်သော ဂျီဩမေတြီများ (non-Euclidean geometries) တွင် ဟိုက်ပါဘောလစ် ဂျီဩမေတြီ (hyperbolic geometry) နှင့် အဲလစ်ပတစ် ဂျီဩမေတြီ (elliptic geometry) သို့မဟုတ် စက်လုံး ဂျီဩမေတြီ (spherical geometry) တို့ ပါဝင်သည်။ ဟိုက်ပါဘောလစ် ဂျီဩမေတြီသည် ကိန်းသေ အနုတ် ကွေးညွှတ်မှု (constant negative curvature) ရှိသည်။ အဲလစ်ပတစ် သို့မဟုတ် စက်လုံး ဂျီဩမေတြီသည် ကိန်းသေ အပေါင်း ကွေးညွှတ်မှု (constant positive curvature) ရှိသည်။ အဖိုင်း ဂျီဩမေတြီ (affine geometry) သည် ပြိုင်တူဖြစ်ခြင်း (parallelism) နှင့် မျဉ်းတစ်ကြောင်းတည်းပေါ်တွင်ရှိခြင်း (collinearity) တို့ကို ထိန်းသိမ်းထားသော အသွင်ပြောင်းခြင်းများ (transformations) အပေါ် အာရုံစိုက်သည်။ တစ်ချိန်တည်းတွင် ပရိုဂျက်တစ် ဂျီဩမေတြီ (projective geometry) သည် နှစ်ထပ်အချိုး (cross-ratio) နှင့် ဒွန်တွဲမှု (duality) ကဲ့သို့သော ပရိုဂျက်တစ်ဖြစ်ခြင်းများအောက်ရှိ မပြောင်းလဲသော ဂုဏ်သတ္တိများကို ဗဟိုပြုသည့် လွှမ်းခြုံနိုင်သော မူဘောင်တစ်ခုကို ပံ့ပိုးပေးသည်။ ရီးမန်း ဂျီဩမေတြီ (Riemannian geometry) သည် ပြောင်းလဲနိုင်သော ကွေးညွှတ်မှု (variable curvature) နှင့် မက်ထရစ် တန်ဆာ (metric tensor) $ds^{2}=\sum _{i,j}g_{ij}\,dx_{i}\,dx_{j}$ တို့ဖြင့် အုပ်ချုပ်ထားသော ယေဘုယျပြုထားသည့် $n$-တိုင်းတာမှုရှိသော မန်နီဖိုးများကို ($n$-dimensional manifolds) လွှမ်းခြုံထားသည်။

ခေတ်သစ် ဂျီဩမေတြီသည် အက်ခိုး ပေါ်လီတက်ကနစ် (École Polytechnique) ၌ ဂတ်စပတ် မွန်ချ် (Gaspard Monge) ကို ဗဟိုပြုသော အစောပိုင်း ၁၉ ရာစု ပြင်သစ်ကျောင်းမှ စတင်ခဲ့သည်။ မွန်ချ်၏ ကျောင်းသားများသည် ဤနယ်ပယ်ကို လမ်းကြောင်းမျိုးစုံသို့ ချဲ့ထွင်ခဲ့ကြသည်။ ချားလ်စ် ဒူပင်း (Charles Dupin) သည် မျက်နှာပြင်များဆိုင်ရာ သီအိုရီကို (theory of surfaces) မိတ်ဆက်ခဲ့ပြီး ဆိုက်ကလိုက် (cyclide) ကို ရှာဖွေတွေ့ရှိခဲ့သည်။ သီအိုဒို အိုလီဗီယာ (Théodore Olivier) သည် သင်ကြားရေးအတွက် အတိုင်းအတာသုံးခုရှိသော ဂျီဩမေတြီ ကြိုးမော်ဒယ်များကို (three-dimensional geometric string models) ရှေ့ဆောင်ဖန်တီးခဲ့သည်။ ချားလ်စ်-ဂျူးလ်စ် ဘရီယန်ချွန် (Charles-Jules Brianchon) သည် ပက်စ်ကယ် (Pascal) ၏ ဆန်းကြယ်သော ဆဋ္ဌဂံ သီအိုရမ်အတွက် (Pascal’s mystic hexagram theorem) ပရိုဂျက်တစ် ဒွန်တွဲ (projective dual) ကို ဖော်ထုတ်ခဲ့သည်။ ၎င်းသည် "အမှတ်" (point) နှင့် "မျဉ်း" (line) ဟူသော သဘောတရားများကို အချင်းချင်းဖလှယ်လိုက်သောအခါတွင် ပြင်ညီ ပရိုဂျက်တစ် ဂျီဩမေတြီရှိ သီအိုရမ်များသည် မှန်ကန်နေဆဲဖြစ်ကြောင်း အတည်ပြုခဲ့သည်။ ယန်-ဗစ်တာ ပွန်စလတ် (Jean-Victor Poncelet) သည် ၎င်း၏ ၁၈၂၂ ခုနှစ်ထုတ် Traité des propriétés projectives des figures စာအုပ်တွင် ပရိုဂျက်တစ် ဂျီဩမေတြီကို သီးခြားလွတ်လပ်သော ဘာသာရပ်ခွဲတစ်ခုအဖြစ် တည်ထောင်ခဲ့သည်။ သူသည် အဆက်မပြတ်ဖြစ်ခြင်း (continuity) မူဝါဒနှင့် အနန္တအမှတ်များ (ideal points) ကို မိတ်ဆက်ခဲ့သည်။ ထို့အပြင် ပြင်ညီတစ်ခုရှိ စက်ဝိုင်းအားလုံးက မျှဝေပိုင်ဆိုင်ထားသော အနန္တရှိ ကွန်ဂျူဂိတ် ကိန်းယောင် စက်ဝိုင်းအမှတ်များ (conjugate imaginary circular points) နှစ်ခုကိုလည်း မိတ်ဆက်ခဲ့သည်။ ယင်းအမှတ်များကို $I$ နှင့် $J$ ဟု သတ်မှတ်ထားသည်။ မိုက်ကယ် ရှားလ်စ် (Michel Chasles) သည် မျဉ်းတစ်ကြောင်းတည်းပေါ်ရှိ အမှတ်လေးမှတ်၏ နှစ်ထပ်အချိုးကို (cross-ratio) အလေးပေးဖော်ပြခဲ့ပြီး ယင်းကို အောက်ပါအတိုင်း အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ခဲ့သည်။

${\frac {c-a}{c-b}}:{\frac {d-a}{d-b}}$

သူသည် ဤနှစ်ထပ်အချိုးသည် ပရိုဂျက်တစ် အသွင်ပြောင်းခြင်းများ (projective transformations) အောက်တွင် ပကတိ မပြောင်းလဲသော ဂုဏ်သတ္တိရှိကြောင်းကို (invariant) သက်သေပြခဲ့သည်။

ပေါင်းစပ် မက်ထရစ် ဖန်ရှင် ဂျီဩမေတြီ (synthetic metric geometry) တွင် ဂျက်ကော့ဘ် ရှတိုင်းနား (Jakob Steiner) သည် ယူကလစ်ဒ် တည်ဆောက်ပုံများအားလုံးကို မျဉ်းဖြောင့်တံတစ်ခုနှင့် (straightedge) ဗဟိုကို (center) ရှင်းလင်းစွာပေးထားသော အထိုင်စက်ဝိုင်းတစ်ခုတည်းကိုသာ (single fixed circle) အသုံးပြု၍ အပြီးသတ်နိုင်ကြောင်း သက်သေပြခဲ့သည်။ သူသည် တတိယထပ်ကိန်း မျက်နှာပြင်တစ်ခုပေါ်ရှိ မျဉ်းဖြောင့် နှစ်ဆယ့်ခုနစ်ကြောင်းကိုလည်း (twenty-seven straight lines on a cubic surface) လေ့လာခဲ့ပြီး ထောင့်ကို ထိန်းသိမ်းထားသော အသွင်ပြောင်းခြင်းဖြစ်သည့် (angle-preserving transformation) ပြောင်းပြန်လှန် ဂျီဩမေတြီ (inversive geometry) ကို ဖော်ထုတ်ခဲ့သည်။ ဤဂျီဩမေတြီတွင် အမှတ် $P$ နှင့် $P'$ တို့သည် အချင်းဝက် (radius) $r$ ရှိပြီး ဗဟို $O$ ၌ရှိသော စက်ဝိုင်းတစ်ခုနှင့် စပ်လျဉ်း၍ အချင်းချင်း ပြောင်းပြန်ဖြစ်ကြသည် (inverse)။ ၎င်းတို့သည် $(OP)(OP')=r^{2}$ ကို ပြည့်စုံစေသည်။

ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာ ဂျီဩမေတြီ (analytic geometry) ကို ဂျူးလီးယပ်စ် ပလွတ်ကာ (Julius Plücker) က ပြန်လည်အသက်ဝင်စေခဲ့ပြီး သူသည် ကာလရှည်ကြာ တည်ရှိနေခဲ့သော ပြဿနာများကို ဖြေရှင်းရန်အတွက် အတိုကောက် သင်္ကေတအသုံးအနှုန်းကို (abridged notation) တီထွင်ခဲ့သည်။ ပလွတ်ကာ၊ ဩဂတ်စ် ဖာဒီနန် မိုးဘီးယပ်စ် (August Ferdinand Möbius)၊ ကားလ် ဝီလ်ဟမ် ဖွိုင်ယာဘတ် (Karl Wilhelm Feuerbach) နှင့် အက်တီယန် ဘိုဘီလီယာ (Étienne Bobillier) တို့သည် တစ်ပြေးညီ ကိုဩဒိနိတ်များ (homogeneous coordinates) ကို သီးခြားစီ မိတ်ဆက်ခဲ့ကြသည်။ ထိုကိုဩဒိနိတ်စနစ်တွင် $t=0$ သည် အနန္တရှိ မျဉ်းကို (line at infinity) ကိုယ်စားပြုသည်။ ပလွတ်ကာသည် မျဉ်း ကိုဩဒိနိတ်များ (line coordinates) ကိုလည်း မိတ်ဆက်ခဲ့သည်။ ၎င်းတို့သည် $(u,v,w)$ ဖြစ်ကြပြီး မျဉ်းတစ်ကြောင်းပေါ်ရှိ အမှတ်များဟူသော သဘောတရားကို အမှတ်တစ်ခုကို ဖြတ်သန်းသွားသော မျဉ်းများဟူသော ဒွန်တွဲသဘောတရားအဖြစ် ပြောင်းလဲပေးခဲ့သည်။ ၁၈၃၄ ခုနှစ်တွင် သူသည် အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ မျဉ်းကွေး (algebraic curve) တစ်ခု၏ အဆင့် (order) $n$၊ အတန်းအစား (class) $m$၊ ဆုံမှတ်များ (nodes) $\delta$၊ အချွန်မှတ်များ (cusps) $\kappa$၊ ငြိမ်နေသော ထိမျဉ်းများ သို့မဟုတ် အကွေ့မှတ်များ (stationary tangents/inflections) $\iota$ နှင့် ထိမျဉ်းနှစ်ထပ်များ (bitangents) $\tau$ တို့ကို ဆက်စပ်ပေးသော ညီမျှခြင်းများကို ထုတ်ဝေခဲ့သည်။

$m=n(n-1)-2\delta -3\kappa \quad {\text{and}}\quad n=m(m-1)-2\tau -3\iota$

$\iota =3n(n-2)-6\delta -8\kappa \quad {\text{and}}\quad \kappa =3m(m-2)-6\tau -8\iota$

ယူကလစ်ဒ်၏ ပဉ္စမမြောက် ကြိုတင်အဆိုကို (Fifth Postulate) သက်သေပြရန် ကြိုးပမ်းမှုသည် ၎င်းမပါဘဲ ရှေ့နောက်ညီညွတ်မှု (consistent) ရှိသော ဂျီဩမေတြီများ တည်ရှိနိုင်ကြောင်းကို သင်္ချာပညာရှင်များက ပြသနိုင်ခဲ့ချိန်တွင် အဆုံးသတ်သွားခဲ့သည်။ ကားလ် ဖရီးဒရစ် ဂေါက်စ် (Carl Friedrich Gauss) သည် ဤအချက်ကို စောစီးစွာကတည်းက သီးသန့် အသိအမှတ်ပြုခဲ့သည်။ သို့သော် နီကိုလိုင်း အိုင်ဗန်နိုဗစ်ချ် လိုဘာချက်ဗ်စကီး (Nikolai Ivanovich Lobachevsky) သည် ၁၈၂၉ ခုနှစ်တွင်လည်းကောင်း၊ ယာနို့စ် ဘိုလိုင် (János Bolyai) သည် ၁၈၃၂ ခုနှစ်တွင်လည်းကောင်း ယူကလစ်ဒ်မဟုတ်သော ဟိုက်ပါဘောလစ် ဂျီဩမေတြီ၏ (non-Euclidean hyperbolic geometry) ပထမဆုံး ပုံစံတကျ စနစ်များကို ထုတ်ဝေခဲ့ကြသည်။ ဤဂျီဩမေတြီတွင် တြိဂံတစ်ခု၏ ထောင့်ပေါင်းလဒ်သည် (angle sum) ၁၈၀ ဒီဂရီထက် တိကျစွာ လျော့နည်းသည်။ ယူဂျင်နီယို ဘယ်လ်ထရာမီ (Eugenio Beltrami) သည် ဤဂျီဩမေတြီ၏ နှိုင်းရ ရှေ့နောက်ညီညွတ်မှုကို (relative consistency) ၁၈၆၈ ခုနှစ်တွင် ဆူဒိုစက်လုံးမျက်နှာပြင် (pseudosphere) ပေါ်တွင် လက်တွေ့ဖော်ဆောင်ခြင်းဖြင့် သက်သေပြခဲ့သည်။ ဒစ်ဖရန်ရှယ် ဂျီဩမေတြီ (differential geometry) ကို ၁၈၂၇ ခုနှစ်တွင် ဂေါက်စ်က ပုံစံတကျ ဖွဲ့စည်းခဲ့သည်။ သူသည် ဂေါက်ရှန်း ကွေးညွှတ်မှု (Gaussian curvature) $K$ ကို အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ခဲ့ပြီး ကွေးနေသော ကိန်းရှင်ကြားခံ မျက်နှာပြင်တစ်ခုပေါ်ရှိ မျဉ်းကွေးအလျား (arc length) သည် ဒုတိယထပ်ကိန်း ဒစ်ဖရန်ရှယ်ပုံစံ (quadratic differential form) $ds^{2}=E\,du^{2}+2F\,du\,dv+G\,dv^{2}$ အပေါ် မူတည်ကြောင်းကို အတည်ပြုခဲ့သည်။ ဘန်းဟတ် ရီးမန်း (Bernhard Riemann) ၏ ၁၈၅၄ ခုနှစ် ဟာဘီလီတေးရှင်း ဟောပြောချက်သည် ၎င်းကို အဆက်မပြတ်ဖြစ်သော (continuous) $n$-အတိုင်းအတာရှိသော မန်နီဖိုးများအထိ (n-dimensional manifolds) ယေဘုယျပြုခဲ့သည်။ ၁၈၇၂ ခုနှစ်တွင် ဖဲလစ် ကလိုင်း (Felix Klein) သည် သူ၏ အာလန်ဂါ ပရိုဂရမ် (Erlanger Programm) မှတစ်ဆင့် ဤကွဲပြားနေသော ဂျီဩမေတြီများကို ပေါင်းစပ်ခဲ့သည်။ သူသည် ဂျီဩမေတြီကို တိကျသော အသွင်ပြောင်းအုပ်စုများ (transformation groups) အောက်တွင် မပြောင်းလဲသော ဂုဏ်သတ္တိများ (invariant properties) အား လေ့လာခြင်းအဖြစ် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ခဲ့သည်။

ခေတ်သစ်အက္ခရာသင်္ချာ - တည်ဆောက်ပုံများ၊ ဖလှယ်၍မရသော စနစ်များနှင့် နဂိုမှန်အဆို ဖွဲ့စည်းခြင်း (Abstract Algebra: Structures, Noncommutative Systems, and Axiomatization)

အာသာ ကေးလီ

ဟာမန် ဂရပ်စ်မန်း

ဖာဒီနန် ဂျော့ချ် ဖရိုဘီးနီးယပ်စ်

အမ်မီ နိုသာ (1900)

ဆယ့်ကိုးရာစုနှင့် နှစ်ဆယ်ရာစုများအတွင်း အက္ခရာသင်္ချာသည် ကိန်းဂဏန်းဆိုင်ရာ ညီမျှခြင်းများကို လေ့လာခြင်းမှ အက္ခရာသင်္ချာ တည်ဆောက်ပုံများ (algebraic structures)၊ တွက်ချက်မှုများ (operations) နှင့် နဂိုမှန်အဆိုများ (axioms) တို့ကို သရုပ်မဲ့ လေ့လာခြင်းဆီသို့ ပြောင်းလဲသွားခဲ့သည်။ ယင်းက အုပ်စုများ (groups)၊ ကွင်းများ (rings) နှင့် ဖီးလ်ဒ်များ (fields) ကို ပုံစံတကျ ဖွဲ့စည်းနိုင်ရန် လမ်းစဖွင့်ပေးခဲ့သည်။

သင်္ကေတ အက္ခရာသင်္ချာ၏ (symbolic algebra) အခြေခံအုတ်မြစ်ကို ဂျော့ချ် ပီးကော့ (George Peacock) နှင့် ဩဂတ်စတပ်စ် ဒီ မော်ဂန် (Augustus De Morgan) တို့က တည်ထောင်ခဲ့ကြသည်။ ပီးကော့သည် ဂဏန်းသင်္ချာဆိုင်ရာ အက္ခရာသင်္ချာကို (arithmetical algebra) သင်္ကေတ အက္ခရာသင်္ချာမှ ခွဲခြားပြသခဲ့သည်။ ဒီ မော်ဂန်ကမူ တွက်ချက်မှုဆိုင်ရာ သင်္ကေတများသည် (operational symbols) အလိုရှိသလို ရွေးချယ်ထားသော သရုပ်မဲ့ပြုလုပ်ခြင်းများသာဖြစ်ကြောင်း (arbitrary abstractions) ငြင်းဆိုခဲ့သည်။ ဂျော့ချ် ဘူးလ် (George Boole) သည် ယုတ္တိဗေဒနှင့် အစုသီအိုရီ (set theory) ဆိုင်ရာ အက္ခရာသင်္ချာကို (algebra of logic) တည်ထောင်ခဲ့သည်။ သူသည် စကြဝဠာ အစု (universal set) ကို $1$ ဖြင့်လည်းကောင်း၊ ဗလာစု (null set) ကို $0$ ဖြင့်လည်းကောင်း၊ ပေါင်းစပ်စု (union) ကို $+$ ဖြင့်လည်းကောင်း၊ ထပ်တူပိုင်းအစု (intersection) ကို $\times$ ဖြင့်လည်းကောင်း သတ်မှတ်ပြသခဲ့ပြီး ထပ်တူရပေး နိယာမ (idempotent law) $x^{2}=x$ ကို ဖော်ထုတ်ခဲ့သည်။

ဖလှယ်၍မရသော စနစ်များ (noncommutative systems) သည် ၁၈၄၃ ခုနှစ်တွင် ဝီလျံ ရိုဝမ် ဟာမီလ်တန် (William Rowan Hamilton) က မြှောက်ခြင်းဆိုင်ရာ ဖလှယ်ရ နိယာမ (commutative law of multiplication) ကို စွန့်လွှတ်ကာ ကွာတာနီယွန်များ (quaternions) ကို တီထွင်လိုက်ချိန်တွင် ပေါ်ပေါက်လာခဲ့သည်။

$i^{2}=j^{2}=k^{2}=ijk=-1$

$ij=k=-ji,\quad jk=i=-kj,\quad ki=j=-ik$

တစ်ချိန်တည်းမှာပင် ဟာမန် ဂရပ်စ်မန်း (Hermann Grassmann) သည် $n$-တိုင်းတာမှုရှိသော မျဉ်းဖြောင့် ဗက်တာရပ်ဝန်းများ (linear vector spaces) ဆိုင်ရာ သီအိုရီကို တိုးတက်စေခဲ့သည်။ ထို့နောက် အာသာ ကေးလီ (Arthur Cayley) သည် ကိန်းအုံ အက္ခရာသင်္ချာ (matrix algebra) ကို အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ခဲ့ပြီး ဟာမီလ်တန်-ကေးလီ သီအိုရမ်ကို သက်သေပြခဲ့သည်။ တစ်ချိန်တည်းတွင် ဂျိမ်းစ် ဂျိုးဆက် ဆေးလ်ဗက်စတာ (James Joseph Sylvester) သည် မပြောင်းလဲသော ဂုဏ်သတ္တိ သီအိုရီ (invariant theory) ကို မြှင့်တင်ပေးခဲ့သည်။ ဘင်ဂျမင် ပီးယားစ် (Benjamin Peirce) နှင့် ချားလ်စ် ဆန်ဒါးစ် ပီးယားစ် (Charles Sanders Peirce) တို့သည် မျဉ်းဖြောင့် ဖက်စပ်ရ အက္ခရာသင်္ချာများ (linear associative algebras) ကို ဆက်လက် အမျိုးအစားခွဲခြားခဲ့ကြသည်။ ယင်း၏ အထွတ်အထိပ်ရလဒ်အနေဖြင့် ကိန်းစစ်များ (real numbers)၊ ကိန်းထွေးများ (complex numbers) နှင့် ကွာတာနီယွန်များသည်သာလျှင် အတိုင်းအတာအဆုံးရှိသော (finite-dimensional) ကိန်းစစ် ဖက်စပ်ရ အစား အက္ခရာသင်္ချာများ (division algebras) ဖြစ်ကြောင်း သက်သေပြနိုင်ခဲ့သည်။ ဤအမျိုးအစားခွဲခြားခြင်း သီအိုရမ်ကို (classification theorem) ဖာဒီနန် ဂျော့ချ် ဖရိုဘီးနီးယပ်စ် (Ferdinand Georg Frobenius) က ၁၈၇၇ ခုနှစ်တွင်လည်းကောင်း၊ စီ အက်စ် ပီးယားစ်က ၁၈၈၁ ခုနှစ်တွင် သီးခြားစီလည်းကောင်း ပုံစံတကျ အတည်ပြုခဲ့ကြသည်။

အုပ်စုများ၊ ကွင်းများနှင့် ဖီးလ်ဒ်များကို သဘောတရားအဖြစ် ဖွဲ့စည်းခြင်းက ခေတ်သစ်အက္ခရာသင်္ချာ (abstract algebra) ကို ပုံစံတကျ ဖြစ်စေခဲ့သည်။ အေဗာရစ်စ် ဂယ်လ်ဝါ (Évariste Galois) သည် ပိုလီနိုမီရယ် (polynomial) ဖြေရှင်း၍ရနိုင်စွမ်း (solvability) ကို ပါမြူတေးရှင်း (permutation) အချိုးညီမှုများနှင့် (symmetries) ချိတ်ဆက်ပေးခဲ့သည်။ ညီမျှခြင်းတစ်ခုကို ကိန်းရင်းများ (radicals) ဖြင့် ဖြေရှင်း၍ရရန်မှာ ၎င်း၏ ဂယ်လ်ဝါ အုပ်စု (Galois group) ဖြေရှင်း၍ရသော (solvable) အုပ်စုဖြစ်ရန် လိုအပ်လုံလောက်သောအခြေအနေ ဖြစ်ကြောင်း သူက သက်သေပြခဲ့သည်။ ရစ်ချတ် ဒက်ဒီကင်း (Richard Dedekind) သည် ကိန်း ဖီးလ်ဒ် (number field) ၏ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်ကို ဖော်ထုတ်ခဲ့ပြီး တစ်ခုတည်းသီးသန့် သုဒ္ဓဆခွဲကိန်းခွဲခြင်း (unique prime factorization) ကို ပြန်လည်တည်ဆောက်ရန်အတွက် ကိန်းပြည့်ရင်းများ (algebraic integers) ၏ ကွင်းများတွင် အိုင်ဒီးလ်များကို (ideals) မိတ်ဆက်ခဲ့သည်။

၂၀ ရာစုအစောပိုင်းတွင် ဂျေ အိတ်ချ် အမ် ဝက်ဒါဘန်း (J. H. M. Wedderburn) သည် ဆီမီးရိုးရှင်းသော အက္ခရာသင်္ချာများအတွက် (semisimple algebras) တည်ဆောက်ပုံ သီအိုရမ်များကို (structure theorems) ထုတ်ဝေခဲ့သည်။ အန်းစ် ရှတိုင်းနစ်ဇ် (Ernst Steinitz) သည် ဖီးလ်ဒ် သီအိုရီ (field theory) ကို နဂိုမှန်အဆို ဖွဲ့စည်းခဲ့သည်။ အမ်မီ နိုသာ (Emmy Noether) သည် အစဉ်လိုက်တိုး ချိတ်တန်း အခြေအနေများ (ascending chain conditions) ကို အသုံးပြု၍ နဂိုမှန်အဆိုကိုအခြေခံသော ကွင်းသီအိုရီ (axiomatic ring theory) ကို တိုးတက်စေခဲ့သည်။ တစ်ချိန်တည်းမှာပင် ဂဏန်းသင်္ချာ၏ အခြေခံအုတ်မြစ်များကို ဂေါ့လော့ ဖရေဂါ (Gottlob Frege) နှင့် ဂျူဆက်ပီ ပီယာနို (Giuseppe Peano) တို့က ပုံစံတကျ ဖွဲ့စည်းခဲ့ကြသည်။ ဖရေဂါသည် ဂဏန်းသင်္ချာ (arithmetic) ကို ယုတ္တိဗေဒမှ ဆင်းသက်ရယူရန် ကြိုးစားခဲ့ပြီး ပီယာနိုသည် သဘာဝကိန်းများ (natural numbers) အတွက် နဂိုမှန်အဆို အခြေခံအုတ်မြစ်ကို (axiomatic foundation) တည်ထောင်ခဲ့သည်။

ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာ - တိကျသေချာမှု၊ ကိန်းစစ်နှင့် ကိန်းထွေး ကိန်းရှင်များ၊ နှင့် အတိုင်းအတာ သီအိုရီ (Analysis: Rigor, Real and Complex Variables, and Measure Theory)

ဘန်းဟတ် ရီးမန်း (1862)

ကော်ချီ၏ ကျောက်ပုံနှိပ်ပုံ (1840)

ကဲကုလပ် (calculus) သည် ၁၉ ရာစုတွင် ဂျီဩမေတြီဆိုင်ရာ အတွေ့အကြုံအရ မှန်းဆထားသော တိကျမှုမရှိသည့် သက်သေပြချက်များမှ တိကျသေချာသော သင်္ချာဆိုင်ရာ ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာခြင်း (rigorous mathematical analysis) သို့ ကူးပြောင်းသွားခဲ့သည်။ ဤအပြောင်းအလဲသည် ကိန်းစစ်များ (real numbers) နှင့် စုဆုံမှတ်များကို (limits) အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ရာတွင် ယုတ္တိဗေဒဆိုင်ရာ လှည့်လည်နေမှုများကို (logical circularity) ဖယ်ရှားရန် လိုအပ်ခြင်းကြောင့် ဖြစ်ပေါ်လာရခြင်းဖြစ်သည်။

၁၈၇၂ ခုနှစ်တွင် သင်္ချာပညာရှင် ငါးဦးသည် ကိန်းစစ်များအတွက် သီးသန့် ဂဏန်းသင်္ချာ (arithmetic) အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်များကို ဖော်ထုတ်ခဲ့ကြသည်။ ချားလ်စ် မေရေး (Charles Méray)၊ ကားလ် ဗိုင်ယာရှထရပ်စ် (Karl Weierstrass)၊ ဟိုင်းနရစ် အက်ဒ်ဝပ် ဟိုင်းနား (Heinrich Eduard Heine) နှင့် ဂျော့ ကန်တာ (Georg Cantor) တို့သည် ကိန်းစစ်များကို တည်ဆောက်ရန်အတွက် ရာရှင်နယ်ကိန်းများ၏ စုဆုံ ကိန်းစဉ်များ (convergent sequences of rational numbers) သို့မဟုတ် အခြေခံ ကိန်းစဉ်များကို (fundamental sequences) အသုံးပြုခဲ့ကြသည်။ ရစ်ချတ် ဒက်ဒီကင်းသည် ဒက်ဒီကင်း ဖြတ်ပိုင်းကို (Dedekind Cut) မိတ်ဆက်ခဲ့သည်။ သူသည် အီရာရှင်နယ်ကိန်းများကို (irrationalities) တိကျသေချာစွာ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ရန်အတွက် ရာရှင်နယ်ကိန်းအားလုံးကို ဘုံမပါသော အစုပိုင်းများ (disjoint subsets) နှစ်ခုအဖြစ် အစုခွဲစနစ် (partition) ပြုလုပ်ခဲ့သည်။

ကိန်းထွေး ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာကို (complex analysis) အော်ဂက်စတင် လူဝီ ကော်ချီ (Augustin Louis Cauchy) က စနစ်တကျ တိုးတက်စေခဲ့သည်။ သူသည် ကော်ချီ-ရီးမန်း ဒစ်ဖရန်ရှယ် ညီမျှခြင်းများကို (Cauchy-Riemann differential equations) ဆင်းသက်ရယူခဲ့သည်။ ယင်းညီမျှခြင်းများမှာ ${\frac {\partial u}{\partial x}}={\frac {\partial v}{\partial y}},\qquad {\frac {\partial u}{\partial y}}=-{\frac {\partial v}{\partial x}}$ ဖြစ်ကြသည်။ ထို့အပြင် သူသည် အကြွင်း ကဲကုလပ်နှင့်အတူ (residue calculus) ကော်ချီ အင်တီဂရယ် သီအိုရမ်ကို (Integral Theorem) $\oint f(z)\,dz=0$ သက်သေပြခဲ့သည်။ ဘန်းဟတ် ရီးမန်း (Bernhard Riemann) သည် တန်ဖိုးများစွာရှိသော ဖန်ရှင်များကို (multivalued functions) တစ်ပြေးညီဖြစ်စေရန် (uniformize) ရီးမန်း မျက်နှာပြင်များမှတစ်ဆင့် (Riemann surfaces) တိုပေါ်လော်ဂျီဆိုင်ရာ ချဉ်းကပ်နည်းတစ်ခုကို မိတ်ဆက်ခဲ့သည်။ ထို့အပြင် သူသည် ဇီတာ ဖန်ရှင် (zeta function) $\zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }n^{-s}$ ၏ သုညမှတ်များနှင့် ပတ်သက်သော ရီးမန်း ယူဆချက်ကိုလည်း (Hypothesis) ဖော်ထုတ်ခဲ့သည်။ ဗိုင်ယာရှထရပ်စ်သည် ဤဖီးလ်ဒ်ကို ပါဝါကိန်းစဉ်တန်း (power series) နှင့် ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာမှုဆိုင်ရာ ဆက်လက်တည်ရှိခြင်းတို့မှတစ်ဆင့် (analytic continuation) တင်းကျပ်စွာ တိုးချဲ့ခဲ့သည်။

ခေတ်သစ် အင်တီဂရိတ်လုပ်ခြင်း (integration) နှင့် အတိုင်းအတာ သီအိုရီတို့သည် (measure theory) အီမီးလ် ဘိုရဲလ် (Émile Borel) မှတစ်ဆင့် တိုးတက်လာခဲ့သည်။ သူသည် ရေတွက်နိုင်သော ပေါင်းစပ်နိုင်မှုကို (countable additivity) အသုံးပြု၍ ကိန်းစစ်မျဉ်း (real line) ပေါ်တွင် အတိုင်းအတာ သီအိုရီကို တည်ထောင်ခဲ့သည်။ အွန်ရီ လီဘက်ဂ် (Henri Lebesgue) သည်လည်း ဤနယ်ပယ်ကို တိုးတက်စေခဲ့ပြီး သူသည် ၁၉၀၂ ခုနှစ်တွင် လီဘက်ဂ် အင်တီဂရယ်ကို (Lebesgue integral) မိတ်ဆက်ခဲ့သည်။ လီဘက်ဂ်သည် ဖန်ရှင်တစ်ခု၏ အရင်းအမြစ်စု (domain) ထက် ပုံရိပ်အစုကို (range) ပိုမိုသေးငယ်စွာ ထပ်မံပိုင်းခြားခြင်းအားဖြင့် အလွန်အမင်း အဆက်မပြတ်မဖြစ်သော ဖန်ရှင်များကို (discontinuous functions) အင်တီဂရိတ်လုပ်နိုင်စွမ်း (integrability) ရှိစေခဲ့သည်။ ယင်းက ကဲကုလပ်၏ အခြေခံသီအိုရမ်ကို (Fundamental Theorem of Calculus) ချဲ့ထွင်ပေးခဲ့သည်။

တိုပေါ်လော်ဂျီ နှင့် ဖန်ရှင်နယ် ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာ (Topology and Functional Analysis)

ဆိုးလ်ဗေး ညီလာခံတွင် မာရီ ကျူရီ နှင့် ပွန်ကာရေးတို့ စကားပြောဆိုနေစဉ် (1911)

ဒေးဗစ် ဟီလ်ဘတ် (1912)

တိုပေါ်လော်ဂျီ (Topology) သည် နှစ်ဆယ်ရာစု သင်္ချာတွင် အဓိကကျသော ပေါင်းစပ်ပေးသည့် ဘာသာရပ်ခွဲတစ်ခုအဖြစ် ပေါ်ထွက်လာခဲ့သည်။ အွန်ရီ ပွန်ကာရေး (Henri Poincaré) သည် ၁၈၉၅ ခုနှစ်တွင် အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ တိုပေါ်လော်ဂျီကို (algebraic topology) တည်ထောင်ခဲ့သည်။ သူသည် အရိုးရှင်းဆုံးပုံ ဟိုမိုလော်ဂျီကို (simplicial homology) မိတ်ဆက်ခဲ့ပြီး ဗက်တီ ကိန်းများကို (Betti numbers) အသုံးပြု၍ ဗဟုဂံပုံသေနည်းကို (polyhedral formula) ပိုမိုမြင့်မားသော အတိုင်းအတာရှိ မန်နီဖိုးများအထိ (manifolds) ယေဘုယျပြုခဲ့သည်။ ထို့အပြင် သူသည် အခြေခံအုပ်စုကို (fundamental group) လည်း အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ခဲ့သည်။ သူ၏ ပွန်ကာရေး ဟိုမိုလော်ဂျီ စက်လုံးမျက်နှာပြင် (Poincaré homology sphere) ကို ဖော်ထုတ်မှုသည် ပွန်ကာရေး ယူဆချက်ဆီသို့ (Poincaré conjecture) ဦးတည်စေခဲ့သည်။ အယ်လ် အီး ဂျေ ဘရောင်းဝါး (L. E. J. Brouwer) သည် အထိုင်မှတ် သီအိုရမ် (fixed-point theorem) အပါအဝင် အခြေခံ တိုပေါ်လော်ဂျီဆိုင်ရာ မပြောင်းလဲသော ဂုဏ်သတ္တိ သီအိုရမ်များကို (topological invariance theorems) ဆက်လက် သက်သေပြခဲ့သည်။

အစုသီအိုရီအခြေခံ တိုပေါ်လော်ဂျီကို (Point-set topology) မောရစ် ဖရေးရှေး (Maurice Fréchet) နှင့် ဖဲလစ် ဟောက်စ်ဒေါ့ဖ် (Felix Hausdorff) တို့က တည်ထောင်ခဲ့ကြသည်။ ဖရေးရှေးသည် ၁၉၀၆ ခုနှစ်တွင် အကွာအဝေး ရပ်ဝန်းများကို (metric spaces) အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ခဲ့သည်။ ဟောက်စ်ဒေါ့ဖ်သည် ပတ်ဝန်းကျင် (neighborhood) နှင့် ခွဲခြားခြင်း နဂိုမှန်အဆိုများကို (separation axioms) အသုံးပြု၍ တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်းများအတွက် (topological spaces) နဂိုမှန်အဆို စနစ်ကို (axiomatic system) ၁၉၁၄ ခုနှစ်တွင် ထုတ်ဝေခဲ့သည်။ ဖန်ရှင်နယ် ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာသည်လည်း (functional analysis) တစ်ပြိုင်နက်တည်း တိုးတက်လာခဲ့သည်။ ဒေးဗစ် ဟီလ်ဘတ် (David Hilbert) သည် အနန္တအတိုင်းအတာရှိသော (infinite-dimensional) အတွင်းမြှောက်လဒ် ရပ်ဝန်းများကို (inner product spaces) ဖော်ထုတ်ခဲ့သည်။ စတီဖန် ဘာနက် (Stefan Banach) သည် ပြည့်စုံသော စံနှုန်းသတ်မှတ်ထားသော ဗက်တာရပ်ဝန်းများကို (complete normed vector spaces) ပုံစံတကျ ဖွဲ့စည်းခဲ့သည်။ လော်ရင့် ရွှာ့ဇ် (Laurent Schwartz) ၏ ဖြန့်ဝေမှု သီအိုရီသည် (theory of distributions) ဒိုင်ရက် ဒယ်လ်တာကဲ့သို့ (Dirac delta) ယေဘုယျပြုထားသော ဖန်ရှင်များကို (generalized functions) တိကျသေချာစွာ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ခဲ့သည်။

နှစ်ဆယ်ရာစု ပေါင်းစပ်ဖွဲ့စည်းခြင်း - ဘော်ဘာကီ၊ ကတ်တဂိုရီ သီအိုရီနှင့် အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ ဂျီဩမေတြီ (Twentieth-Century Synthesis: Bourbaki, Category Theory, and Algebraic Geometry)

အန်ဒရေး ဗေးလ် (1956)

ဘော်ဘာကီ ညီလာခံ (1951)

၂၀ ရာစု အလယ်ပိုင်းတွင် သင်္ချာဘာသာရပ်သည် သရုပ်မဲ့ တည်ဆောက်ပုံများ (abstract structures) နှင့် ကတ်တဂိုရီဆိုင်ရာ ဆက်စပ်မှုများ (categorical relationships) ကို အလေးပေးခြင်းဖြင့် အရင်ကမရှိဖူးသော ပေါင်းစပ်ညီညွတ်မှုကို ရရှိခဲ့သည်။ ၁၉၃၄ ခုနှစ်မှစတင်၍ ပြင်သစ် သင်္ချာပညာရှင်များ အဖွဲ့တစ်ဖွဲ့သည် နီကိုလတ်စ် ဘော်ဘာကီ (Nicolas Bourbaki) ဟူသော ကလောင်အမည်ဖြင့် စာပေထုတ်ဝေလျက် အတွဲများစွာပါဝင်သော Éléments de mathématique (သင်္ချာ၏ အခြေခံများ) ကို ရေးသားပြုစုခဲ့သည်။ ၎င်းတို့၏ နည်းစနစ်သည် နဂိုမှန်အဆိုဆိုင်ရာ နည်းလမ်း (axiomatic method) ကို တင်းကျပ်စွာ လိုက်နာမှုနှင့် ယေဘုယျ တည်ဆောက်ပုံများမှ (general structures) တိကျသော အသုံးချမှုများဆီသို့ (specific applications) ယုတ္တိဗေဒဆိုင်ရာ အဆင့်ဆင့်တိုးတက်မှုကို (logical progression) အလေးပေးခဲ့သည်။

ကတ်တဂိုရီ သီအိုရီ (Category theory) ကို ဆင်မြူရယ် အိုင်လန်ဘာ့ဂ် (Samuel Eilenberg) နှင့် ဆောင်းဒါးစ် မက်လိန်း (Saunders Mac Lane) တို့က ၁၉၄၀ ပြည့်လွန်နှစ်များတွင် တည်ထောင်ခဲ့ကြသည်။ ၎င်းတို့သည် ကွဲပြားသော သင်္ချာဆိုင်ရာ ဘာသာရပ်ခွဲများကြားရှိ ဆက်သွယ်ချက်များကို ပုံစံတကျ ဖွဲ့စည်းရန် ကတ်တဂိုရီများ (categories)၊ ဖန်တာများ (functors) နှင့် သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်းများ (natural transformations) ကို မိတ်ဆက်ခဲ့ကြသည်။ ထို့နောက် အွန်ရီ ကာတန် (Henri Cartan) နှင့် အိုင်လန်ဘာ့ဂ်တို့သည် ဟိုမိုလော်ဂျီဆိုင်ရာ အက္ခရာသင်္ချာ (homological algebra) ကို ဖန်တီးရန် အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ တိုပေါ်လော်ဂျီ (algebraic topology) နှင့် ခေတ်သစ်အက္ခရာသင်္ချာ (abstract algebra) တို့ကို ပေါင်းစပ်ခဲ့ကြသည်။

ဤကာလအတွင်း အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ ဂျီဩမေတြီ (Algebraic geometry) သည် တော်လှန်ပြောင်းလဲခြင်း ခံခဲ့ရသည်။ အော်စကာ ဇာရစ်စကီး (Oscar Zariski)၊ ဘီ အယ်လ် ဗန် ဒါ ဗေဒင် (B. L. van der Waerden) နှင့် အန်ဒရေး ဗေးလ် (André Weil) တို့သည် ဤဘာသာရပ်ခွဲကို တိကျသေချာသော ဖလှယ်ရ အက္ခရာသင်္ချာ (rigorous commutative algebra) ဖြင့် အခြေခံချပေးခဲ့ကြသည်။ ၁၉၅၀ ပြည့်လွန်နှစ်များနှင့် ၆၀ ပြည့်လွန်နှစ်များတွင် ယန် လီရေး (Jean Leray)၊ ယန်-ပီယာ ဆဲရ် (Jean-Pierre Serre) နှင့် အလက်ဇန္ဒား ဂရိုသန်ဒိခ် (Alexander Grothendieck) တို့သည် အစည်းများ (sheaves)၊ စကင်းမ်များ (schemes)၊ တိုပို့စ်များ (topoi) နှင့် အေတဲလ် ဒွန်တွဲဟိုမိုလော်ဂျီ (étale cohomology) ဟူသော ဘာသာစကားမှတစ်ဆင့် အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ ဂျီဩမေတြီကို လုံးဝအသစ်ပြန်လည်ဖွဲ့စည်းခဲ့ကြသည်။ ဤမူဘောင်သည် ပီယာ ဒေလင်း (Pierre Deligne) အား ၁၉၇၄ ခုနှစ်တွင် အနက်ရှိုင်းဆုံးသော ဗေးလ် ယူဆချက်များကို သက်သေပြရန် လုပ်ဆောင်နိုင်စေခဲ့သည်။

ယုတ္တိဗေဒ၊ အခြေခံအုတ်မြစ်များနှင့် တွက်ချက်မှုဆိုင်ရာ သင်္ချာ (Logic, Foundations, and Computational Mathematics)

ကာ့တ် ဂိုဒယ် (1925)

အလန် ကျူးရင်း (1930s)

၁၉၀၀ ပြည့်နှစ်တွင် ဒေးဗစ် ဟီလ်ဘတ် (David Hilbert) ၏ အခြေခံဆိုင်ရာ ပြဿနာများ (foundational problems) နှစ်ဆယ့်သုံးခု တင်ပြချက်မှ ကြီးမားစွာ လွှမ်းမိုးမှုခံရသော ၂၀ ရာစုသည် သက်သေပြနိုင်စွမ်း (provability) နှင့် တွက်ချက်ခြင်း (computation) ဆိုင်ရာ အခြေခံ မေးခွန်းများကို ဖြေရှင်းနိုင်ခဲ့သည်။

ယုတ္တိဗေဒ (logic) တွင် ယုတ္တိဗေဒဆိုင်ရာ နဂိုမှန်အဆိုများမှ (logical axioms) ဂဏန်းသင်္ချာ (arithmetic) ကို ဆင်းသက်ရယူရန် ဘာထရန် ရပ်ဆဲလ် (Bertrand Russell) နှင့် အဲလ်ဖရက် နော့သ် ဝှိုက်ဟတ် (Alfred North Whitehead) တို့၏ ကြိုးပမ်းမှုများသည် ကာ့တ် ဂိုဒယ် (Kurt Gödel) ၏ ၁၉၃၁ ခုနှစ် မပြည့်စုံမှု သီအိုရမ်များ (Incompleteness Theorems) ကြောင့် အနှောင့်အယှက်ဖြစ်စေခဲ့သည်။ မည်သည့် ရှေ့နောက်ညီညွတ်မှုရှိသော ပုံစံတကျ နဂိုမှန်အဆိုစနစ်မဆို (consistent formal axiomatic system) အခြေခံ ဂဏန်းသင်္ချာကို (basic arithmetic) လုပ်ဆောင်နိုင်သောအခါ ၎င်းသည် ဆုံးဖြတ်၍မရနိုင်သော အဆိုများကို (undecidable propositions) ပါဝင်စေပြီး ၎င်း၏ ကိုယ်ပိုင် ရှေ့နောက်ညီညွတ်မှုကို (own consistency) သက်သေမပြနိုင်ကြောင်း ဂိုဒယ်က ပြသခဲ့သည်။ ဟီလ်ဘတ်၏ ပထမဆုံး ပြဿနာဖြစ်သော ကွန်တင်နျူယမ် ယူဆချက် (Continuum Hypothesis) ၏ တိုးတက်မှုသည် အထွတ်အထိပ်သို့ ရောက်ရှိခဲ့သည်။ ဂိုဒယ်က ၎င်း၏ နှိုင်းရ ရှေ့နောက်ညီညွတ်မှုကို (relative consistency) သက်သေပြခဲ့ပြီး ပေါလ် ကိုဟင် (Paul Cohen) က ၁၉၆၃ ခုနှစ်တွင် အတင်းအကျပ် ပြောင်းလဲခြင်းနည်းလမ်းကို (method of forcing) အသုံးပြု၍ ၎င်း၏ အမှီအခိုကင်းခြင်းကို (independence) သက်သေပြခဲ့သည်။

တွက်ချက်မှု သီအိုရီ (theory of computation) ကို အလန် ကျူးရင်း (Alan Turing) က ၁၉၃၆ ခုနှစ်တွင် ပုံစံတကျ တည်ထောင်ခဲ့သည်။ ကျူးရင်းသည် တွက်ချက်ခြင်းအတွက် စကြဝဠာ သဘောတရားရေးရာ မော်ဒယ်ကို (universal theoretical model) မိတ်ဆက်ခဲ့သည်။ ဤမော်ဒယ်ကို ကျူးရင်း စက်ဟု (Turing machine) သိကြသည်။ ထို့ပြင် သူသည် ရပ်တန့်ခြင်း ပြဿနာ၏ (halting problem) ဖြေရှင်း၍မရနိုင်စွမ်းကို (insolvability) သက်သေပြခဲ့ပြီး ယင်းက ဟီလ်ဘတ်၏ ဆုံးဖြတ်ချက် ပြဿနာကို (decision problem) ဖြေရှင်းနိုင်ခဲ့သည်။ ဂျွန် ဖွန်နွိုင်းမန်း (John von Neumann) သည် အီလက်ထရောနစ် ကွန်ပျူတာ တည်ဆောက်ပုံ (electronic computer architecture)၊ ဂိမ်းသီအိုရီ (game theory) နှင့် ကိန်းဂဏန်းဆိုင်ရာ ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာခြင်း (numerical analysis) ကို ရှေ့ဆောင်ဖန်တီးခြင်းဖြင့် တွက်ချက်မှုဆိုင်ရာ သင်္ချာကို ဆက်လက်တိုးတက်စေခဲ့သည်။

မကြာသေးမီ ဆယ်စုနှစ်များအတွင်း နာမည်ကြီး ယူဆချက်များအား ဖြေရှင်းနိုင်ခြင်း (Resolution of Famous Conjectures in Recent Decades)

ရစ်ချတ် ဟာမီလ်တန် (1982)

ဂရီဂေါ်ရီ ယာကော့ဗ်လီဗစ်ချ် ပီရယ်လ်မန်း (1993)

အင်ဒရူး ဝိုင်းလ်စ် (1995)

နှစ်ဆယ်ရာစု နှောင်းပိုင်းနှင့် နှစ်ဆယ့်တစ်ရာစု အစောပိုင်းကာလများကို အဆင့်မြင့် ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာမှုဆိုင်ရာ မူဘောင်များနှင့် (advanced analytical frameworks) ကွန်ပျူတာ အကူအညီများမှတစ်ဆင့် (computer assistance) ကာလရှည်ကြာ တည်ရှိနေခဲ့သော သမိုင်းဝင် ပြဿနာများအား ဖြေရှင်းနိုင်ခြင်းဖြင့် အမှတ်အသားပြုခဲ့သည်။

၁၈၅၂ ခုနှစ်တွင် စတင်ယူဆခဲ့ပြီးဖြစ်သော အရောင်လေးမျိုး သီအိုရမ် (Four-Color Theorem) သည် ကဲနတ် အက်ပယ်လ် (Kenneth Appel) နှင့် ဝုဖ်ဂန်း ဟာကင် (Wolfgang Haken) တို့က ၁၉၇၆ ခုနှစ်တွင် သက်သေပြနိုင်ခဲ့သည်။ ရှောင်လွှဲ၍မရသော ဖွဲ့စည်းပုံများကို (unavoidable configurations) အကဲဖြတ်ရန်အတွက် အားလွှဲပြောင်းခြင်း နည်းလမ်းကို (method of discharging) အသုံးပြုခြင်းသည် ပထမဆုံး အဓိကကျသော ကွန်ပျူတာ-အကူအညီဖြင့် သင်္ချာဆိုင်ရာ သက်သေပြချက်အဖြစ် (computer-assisted mathematical proof) မှတ်တမ်းဝင်ခဲ့သည်။ ယင်းကို နောက်ပိုင်းတွင် ရောဘတ်ဆန်၊ ဆန်ဒါးစ်၊ ဆီးမိုး နှင့် သောမတ်စ် တို့က ၁၉၉၇ ခုနှစ်တွင် ပိုမိုရိုးရှင်းလွယ်ကူအောင် ပြုလုပ်ခဲ့ပြီး ၂၀၀၅ ခုနှစ်တွင် ကော့ခ် ဆော့ဖ်ဝဲလ်ကို အသုံးပြု၍ ဂွန်သီယာ နှင့် ဗာနာ တို့က ပုံစံတကျ စစ်ဆေးအတည်ပြုခဲ့ကြသည်။

အဆုံးရှိ ရိုးရှင်းအုပ်စုများကို အမျိုးအစားခွဲခြားခြင်း (Classification of Finite Simple Groups) သည် ဆယ်စုနှစ်များစွာကြာသော ကမ္ဘာလုံးဆိုင်ရာ ကြိုးပမ်းမှုအပြီးတွင် ပြီးမြောက်ခဲ့သည်။ ၁၉၆၃ ခုနှစ်တွင် ဖိုက်-သွန်မဆင် မကိန်းအစဉ် သီအိုရမ်ဖြင့် (Odd-Order Theorem) စတင်ခဲ့ပြီး ဤသီအိုရမ်က မည်သည့် အဆုံးရှိ ရိုးရှင်းအုပ်စု (finite simple group) မဆို ဆိုက်ကလစ်အုပ်စု (cyclic group)၊ အလှည့်ကျ အုပ်စု (alternating group)၊ လီ-အမျိုးအစား (Lie-type) သို့မဟုတ် ဖရိုဖရဲဖြစ်နေသော အုပ်စုများ (sporadic groups) ၂၆ ခုထဲမှ တစ်ခု ဖြစ်ကြောင်း အတည်ပြုပေးခဲ့သည်။ နောက်ဆုံး ဆူဒို-ပါးလွှာသော ကွာဟချက်ကို (quasi-thin gap) အက်ရှ်ဘာကာ နှင့် စမစ်သ် တို့က ၂၀၀၄ ခုနှစ်တွင် ပိတ်နိုင်ခဲ့သည်။

ဖဲမ ၏ နောက်ဆုံး သီအိုရမ် (Fermat’s Last Theorem) ကို နှစ်ပေါင်း ၃၅၀ ကျော်ကြာပြီးနောက် ဖြေရှင်းနိုင်ခဲ့သည်။ ဂါဟတ် ဖရေး (Gerhard Frey) ၏ မော်ဂျူလာမဟုတ်သော အဲလစ်ပတစ် မျဉ်းကွေးများ (non-modular elliptic curves) ဖွဲ့စည်းမှုနှင့် ကန် ရီဘတ် (Ken Ribet) ၏ $\varepsilon$-ယူဆချက် ($\varepsilon$-conjecture) သက်သေပြချက်တို့ကို အခြေခံ၍ အင်ဒရူး ဝိုင်းလ်စ် (Andrew Wiles) က ပြသခဲ့ရာတွင် ဆီမီး-တည်ငြိမ်သော အဲလစ်ပတစ် မျဉ်းကွေးများအတွက် (semistable elliptic curves) တာနီယာမာ-ရှီမူရာ ယူဆချက်သည် ဖဲမ၏ နောက်ဆုံး သီအိုရမ်ကို တိုက်ရိုက် သက်ရောက်မှုရှိကြောင်း ပြသခဲ့သည်။ ဝိုင်းလ်စ်သည် ၁၉၉၅ ခုနှစ်တွင် သက်သေပြချက်ကို အပြီးသတ်နိုင်ခဲ့သည်။ သူ့ကို ရစ်ချတ် တေလာ (Richard Taylor) က ကူညီပေးခဲ့သည်။

ပွန်ကာရေး ယူဆချက် (Poincaré Conjecture) ကို ဝီလီယံ သာစတန် (William Thurston) ၏ ဂျီဩမေတြီအသွင်ပြောင်းခြင်း ယူဆချက် (Geometrization Conjecture) နှင့် ရစ်ချတ် ဟာမီလ်တန် (Richard Hamilton) ၏ ရစ်ချီ စီးဆင်းမှု ညီမျှခြင်း (Ricci flow equation) ${\frac {\partial g_{ij}}{\partial t}}=-2R_{ij}$ မိတ်ဆက်မှုတို့မှတစ်ဆင့် သက်သေပြနိုင်ခဲ့သည်။ ဂရီဂေါ်ရီ ယာကော့ဗ်လီဗစ်ချ် ပီရယ်လ်မန်း (Grigori Yakovlevich Perelman) သည် ၂၀၀၂ ခုနှစ်နှင့် ၂၀၀၃ ခုနှစ်အတွင်း ခွဲစိတ်မှု နည်းပညာများကို (surgery techniques) အသုံးပြု၍ ရစ်ချီ စီးဆင်းမှု ဆင်ဂူလာဖြစ်ခြင်းများကို (Ricci flow singularities) ကျော်လွှားခြင်းဖြင့် သက်သေပြချက်ကို အပြီးသတ်နိုင်ခဲ့သည်။

မြန်မာ့ သင်္ချာသမိုင်း (History of Burmese Mathematics)

မြန်မာ့သိပ္ပံပညာနှင့် သင်္ချာသမိုင်းကြောင်းသည် ရှေးခေတ်ကာလများကတည်းက အခြေတကျ ဖွံ့ဖြိုးတိုးတက်ခဲ့သည်။ အစောဆုံး မှတ်တမ်းတင်ထားသော သင်္ချာကျမ်းများအနက် တစ်ခုမှာ ၁၄ ရာစုနှစ်ဦးပိုင်းတွင် ဇင်းမယ်မြို့၌ ရှင်ဉာဏဝိလာသ ရေးသားပြုစုခဲ့သော "သင်္ချာပကာသက" ကျမ်းဖြစ်သည်။ ၎င်းကျမ်းကို အခြေခံ၍ ခရစ်နှစ် ၁၅၂၀ ပြည့်နှစ်တွင် ပလိပ်ရွာအရှေ့ရှိ မြို့သစ်မြို့နေ ရှင်သီရိမင်္ဂလက "သင်္ချာပကာသကဋီကာ" ကို ထပ်မံပြုစုခဲ့ပြီး ညောင်ကန်ဆရာတော် ရှင်ကဝိန္ဒ၏ တပည့် ရှင်မုနိန္ဒသာရက "သင်္ချာပကာသက စာကိုယ်နိဿယ" ကို ရေးသားခဲ့သည်။

ဘိုးတော်ဘုရား (ဗဒုံမင်း) လက်ထက် (၁၇၈၂–၁၈၁၉) တွင် အိန္ဒိယနှင့် သီဟိုဠ်တို့မှ ကျမ်းပေါင်း ၂၀၀ ကျော်ကို ယူဆောင်လာခဲ့ပြီး မြန်မာဘာသာသို့ ပြန်ဆိုစေခဲ့ရာမှ သင်္ချာပညာရပ်သည် ပိုမိုထွန်းကားလာခဲ့သည်။ ထင်ရှားသော သမိုင်းဝင်အထောက်အထားတစ်ခုမှာ ၁၇၇၄ ခုနှစ်တွင် ပြုစုခဲ့သော "ဂဏန်းသင်္ချာ ပညာဝဍ္ဎနကျမ်း" ဖြစ်သည်။ ဤကျမ်းကို အပိုင်းလေးပိုင်းခွဲခြားထားပြီး တွက်ချက်မှုဆိုင်ရာ ပုစ္ဆာပေါင်း ၁၇၅ ပုဒ်ကို တွက်နည်းအဖြေများနှင့်တကွ စနစ်တကျ ပြုစုထားသည်။

ပထမပိုင်းတွင် အလေးချိန်၊ အကွာအဝေး၊ ထုထည် (Volume) နှင့် အချိန်နာရီတို့ကို တိုင်းတာသည့် ယူနစ် (Unit) ဆိုင်ရာ ကိန်းသင်္ချာအကြောင်းကို ဖော်ပြထားသည်။ ထို့အပြင် "ခု" မှစ၍ သုည ၁၄၀ လုံးပါဝင်သော "အသင်္ချေ" တိုင်အောင် ရေတွက်ခေါ်ဝေါ်သည့် နည်းစနစ်များ ပါဝင်သည်။ ဒုတိယပိုင်းတွင် လုပ်ငန်းခွင်သုံး တိုင်းထွာတွက်ချက်နည်းများကို "ဂဏန်းဆယ်ပါး" ခေါင်းစဉ်ဖြင့် ဖော်ပြထားပြီး စပါး၊ ဆန်၊ ရွှေ၊ ငွေ၊ ဆီမီး၊ ရထား၊ သစ်ပင်၊ လှေ၊ သားရေနှင့် မြေစသည့် ကဏ္ဍများ ပါဝင်သည်။ ဥပမာအားဖြင့် ရွှေကို အဆင့်ဆင့် သန့်စင်ရာတွင် ဇမ္ဗူရဇ်ရွှေကဲ့သို့ အသန့်စင်ဆုံးအဆင့်ရရှိရန် တွက်ချက်မှုများ၊ သစ်ပင်၏ အမြင့်ကို ဂျီဩမေတြီ (Geometry) အသုံးပြု၍ ရှာဖွေခြင်းများနှင့် မြေကွက်များ၏ ဧရိယာ (Area) တွက်ချက်ခြင်းများ ပါဝင်သည်။

တတိယပိုင်းတွင် ဂဏန်းသင်္ချာ ကိန်းစဉ်တန်း (Arithmetic progression)၊ ဂျီဩမေတြီ ကိန်းစဉ်တန်း (Geometric progression)၊ မရေမရာ ညီမျှခြင်း (Indeterminate equation)၊ အက္ခရာသင်္ချာ ညီမျှခြင်း (Algebraic equation)၊ ဆခွဲကိန်း (Factor) နှင့် ဘုံသုဉ်းကိန်းရှာဖွေခြင်းစသည့် သင်္ချာနည်းစနစ် ၁၆ မျိုးကို ပုစ္ဆာပေါင်း ၇၆ ပုဒ်ဖြင့် ရှင်းလင်းထားသည်။ စတုတ္ထပိုင်းတွင် ရှေ့ပိုင်းနည်းစနစ်များကို အခြေခံထားသော လက်တွေ့အသုံးချ ပုစ္ဆာ ၃၀ ပုဒ် ပါဝင်သည်။ ဤကျမ်း၏ ဖွဲ့စည်းပုံကို လေ့လာခြင်းအားဖြင့် ရှေးခေတ်မြန်မာတို့သည် စက်ဝိုင်း၊ စက်လုံး၊ ထုလုံးနှင့် ထုချွန်များ၏ ဧရိယာနှင့် ထုထည်ရှာဖွေခြင်းမှစ၍ ယေဘုယျ အက္ခရာသင်္ချာ တွက်ချက်မှုများအထိ အဆင့်မြင့်မားသော သင်္ချာပညာကို လက်တွေ့အသုံးချနိုင်ခဲ့ကြောင်း တွေ့ရှိရသည်။

သင်္ချာဆိုင်ရာ ဘာသာရပ်ခွဲများ (Areas of Mathematics)

အလက်ဇန္ဒား ဂရိုသန်ဒိခ် (1970)

အေဗာရစ်စ် ဂယ်လ်ဝါ

ရီနေ ဒေကားတ်

ပီယား ဒေ ဖဲမ

ကားလ် ဗိုင်ယာရှထရပ်စ်

ရစ်ချတ် ဒက်ဒီကင်း

ဤပညာရပ် ကျယ်ပြန့်လာသည်နှင့်အမျှ ၎င်းသည် သဘာဝအလျောက် ကွဲပြားသော်လည်း အလွန်အမင်း အချင်းချင်းချိတ်ဆက်နေသော ဘာသာရပ်ခွဲများစွာအဖြစ် ပိုင်းခြားသွားခဲ့သည်။

• ဂဏန်းသင်္ချာ နှင့် ကိန်းသီအိုရီ (Arithmetic and Number Theory) - ရှေးခေတ်တွင် လော်ဂျစ်စတစ်နှင့် (logistic) ဂဏန်းသင်္ချာ (arithmetic) ကြားတွင် တင်းကျပ်သော ခွဲခြားမှုကို ပြုလုပ်ခဲ့ကြသည်။ လော်ဂျစ်စတစ်သည် တွက်ချက်ခြင်းဆိုင်ရာ လက်တွေ့အသုံးချ နည်းစနစ်ဖြစ်သည်။ (practical technique of computation) ဂဏန်းသင်္ချာသည် ကိန်းများ၏ ဂုဏ်သတ္တိများကို (properties of numbers) ဒဿနိကဗေဒအရ သို့မဟုတ် သဘောတရားရေးရာအရ လေ့လာခြင်းဖြစ်သည်။ ကိန်းသီအိုရီ (Number theory) သည် အဆိုပါ ဂဏန်းသင်္ချာမှ ခေတ်သစ် ဆင်းသက်လာသော ဘာသာရပ်ဖြစ်သည်။ အစောပိုင်း မှတ်တိုင်များတွင် ဂရိလူမျိုးများ၏ ကိန်းများကို အမျိုးအစားခွဲခြားခြင်း ပါဝင်သည်။ ဤအမျိုးအစားခွဲခြားခြင်းတွင် သုဒ္ဓကိန်းများ (prime numbers)၊ ဆပေါင်းကိန်းများ (composite numbers)၊ စုံကိန်းများ (even numbers)၊ မကိန်းများ (odd numbers) နှင့် ဆခွဲပေါင်းကိန်းများ (perfect numbers) တို့ ပါဝင်သည်။ အခြားမှတ်တိုင်တစ်ခုမှာ သုဒ္ဓကိန်းများ အနန္တရှိကြောင်း ယူကလစ်ဒ်၏ သက်သေပြချက်ဖြစ်သည်။ ဤဘာသာရပ်သည် မသေချာသော ညီမျှခြင်းများ သို့မဟုတ် ဒိုင်အိုဖန်တိုင်း ညီမျှခြင်းများကို (indeterminate (Diophantine) equations) လေ့လာခြင်းမှတစ်ဆင့် သိသိသာသာ တိုးတက်လာခဲ့သည်။ ဤလေ့လာမှုများကို ဒိုင်အိုဖန်တပ်စ်၊ ဗြဟ္မဂုတ္တ နှင့် ပီယား ဒေ ဖဲမ ကဲ့သို့သော သင်္ချာပညာရှင်များက ပြုလုပ်ခဲ့ကြသည်။ ၁၈၀၁ ခုနှစ်တွင် ကားလ် ဖရီးဒရစ် ဂေါက်စ် (Carl Friedrich Gauss) သည် ၎င်း၏ Disquisitiones Arithmeticae စာအုပ်ဖြင့် ဤနယ်ပယ်ကို တော်လှန်ပြောင်းလဲခဲ့သည်။ သူသည် ထပ်တူညီမှုဆက်သွယ်ချက်များ၏ ခေတ်သစ်သင်္ချာကို (modern mathematics of congruences) မိတ်ဆက်ခဲ့ပြီး ဂဏန်းသင်္ချာ၏ အခြေခံသီအိုရမ် (Fundamental Theorem of Arithmetic) ကို သက်သေပြခဲ့သည်။

• ဂျီဩမေတြီ (Geometry) - "မြေတိုင်းတာခြင်း" (earth measurement) အဖြစ် စတင်ခဲ့သော ဂျီဩမေတြီသည် ဂရိလူမျိုးများလက်အောက်တွင် ကောက်ချက်ချ သိပ္ပံပညာရပ်တစ်ခု (deductive science) ဖြစ်လာခဲ့သည်။ ၎င်း၏ အထွတ်အထိပ်မှာ ယူကလစ်ဒ်၏ Elements စာအုပ်ဖြစ်ပြီး နှစ်ထောင်ပေါင်းများစွာတိုင်အောင် ဤဘာသာရပ်အတွက် အခြေခံအုတ်မြစ်အဖြစ် တည်ရှိခဲ့သည်။ ၁၇ ရာစုတွင် ရီနေ ဒေကားတ် နှင့် ပီယား ဒေ ဖဲမ တို့သည် အက္ခရာသင်္ချာ ညီမျှခြင်းများကို (algebraic equations) ဂျီဩမေတြီ မျဉ်းကွေးများတွင် (geometric curves) အသုံးချခြင်းဖြင့် ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာ ဂျီဩမေတြီ (Analytic geometry) ကို ဖန်တီးခဲ့ကြသည်။ ယင်းက ဂျီဩမေတြီကို ကိုဩဒိနိတ် ဝင်ရိုးများပေါ်တွင် (coordinate axes) ပုံဖော်နိုင်စေခဲ့သည်။ ၁၉ ရာစုသည် ဂျီဩမေတြီဆိုင်ရာ တော်လှန်ပြောင်းလဲမှုတစ်ခုကို တွေ့ကြုံခဲ့ရသည်။ နီကိုလိုင်း လိုဘာချက်ဗ်စကီး နှင့် ယာနို့စ် ဘိုလိုင် ကဲ့သို့သော သင်္ချာပညာရှင်များသည် ယူကလစ်ဒ်မဟုတ်သော ဂျီဩမေတြီကို (Non-Euclidean geometry) တိုးတက်စေခဲ့ကြသည်။ သူတို့သည် ယူကလစ်ဒ်၏ ပြိုင်မျဉ်း ကြိုတင်အဆိုကို (parallel postulate) ဖယ်ရှားလိုက်လျှင်ပင် ရှေ့နောက်ညီညွတ်မှုရှိသော ဂျီဩမေတြီများ (consistent geometries) တည်ရှိနိုင်ကြောင်းကို ပြသခြင်းဖြင့် ဤသို့ တိုးတက်စေခဲ့ခြင်းဖြစ်သည်။ ထို့နောက် ဘန်းဟတ် ရီးမန်း (Bernhard Riemann) သည် ကွေးညွှတ်နေသော မက်ထရစ် ရပ်ဝန်းများကို (curved metric spaces) အလွန်ယေဘုယျကျစွာ လေ့လာမှုကို မိတ်ဆက်ခဲ့သည်။ ဤလေ့လာမှုကို ရီးမန်း ဂျီဩမေတြီဟု (Riemannian geometry) ခေါ်သည်။ ယင်းသည် နောက်ပိုင်းတွင် ယေဘုယျ နှိုင်းရသီအိုရီ (General Relativity) ကဲ့သို့သော ရူပဗေဒသီအိုရီများအတွက် သင်္ချာဆိုင်ရာ အခြေခံအုတ်မြစ် ဖြစ်လာခဲ့သည်။

• အက္ခရာသင်္ချာ (Algebra) - အက္ခရာသင်္ချာသည် သမိုင်းဆိုင်ရာ ကျယ်ပြန့်သော အဆင့်သုံးဆင့်ဖြင့် ဆင့်ကဲတိုးတက်လာခဲ့သည်။ ၎င်းတို့မှာ စကားပြောဟန် (rhetorical)၊ အတိုကောက်ဟန် (syncopated) နှင့် သင်္ကေတဟန် (symbolic) တို့ဖြစ်သည်။ စကားပြောဟန်သည် စကားလုံးများဖြင့်သာ အပြည့်အဝရေးသားခြင်း ဖြစ်သည်။ အတိုကောက်ဟန်သည် အတိုကောက်အချို့ကို အသုံးပြုခြင်း ဖြစ်သည်။ သင်္ကေတဟန်သည် အက္ခရာများနှင့် တွက်ချက်မှုဆိုင်ရာ သင်္ကေတများကို အသုံးပြုသော ခေတ်သစ် အသုံးအနှုန်း ဖြစ်သည်။ ဘေဘီလုံနှင့် အီဂျစ်လူမျိုးများသည် အခြေခံ မျဉ်းဖြောင့် ညီမျှခြင်းများနှင့် (elementary linear equations) နှစ်ထပ်ကိန်း ညီမျှခြင်းများကို (quadratic equations) ဖြေရှင်းခဲ့ကြသည်။ ဉာဏ်သစ်သွေးသစ်ခေတ်တွင် ဂျီရိုလာမို ကာဒါနို နှင့် လူဒိုဗီကို ဖာရာရီ ကဲ့သို့သော သင်္ချာပညာရှင်များသည် တတိယထပ် ညီမျှခြင်း (cubic equation) နှင့် စတုတ္ထထပ် ညီမျှခြင်း (quartic equation) တို့အတွက် အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ အဖြေများကို (algebraic solutions) ထုတ်ဝေခဲ့ကြသည်။ ၎င်းသည် စကစ်ပီယွန် ဒယ်လ် ဖဲရိုး နှင့် နီကိုလို ဖွန်တာနာ တာတာဂလီယာ တို့၏ တတိယထပ် အဖြေကို ကနဦး ရှာဖွေတွေ့ရှိမှုကို ပုံစံတကျ ဖြစ်စေခဲ့သည်။ ၁၉ ရာစုတွင် အက္ခရာသင်္ချာသည် ပိုလီနိုမီရယ် ညီမျှခြင်းများ (polynomial equations) ကို လေ့လာခြင်းမှ သရုပ်မဲ့ တည်ဆောက်ပုံများကို (abstract structures) လေ့လာခြင်းသို့ ကူးပြောင်းသွားခဲ့သည်။ အေဗာရစ်စ် ဂယ်လ်ဝါ ၏ အုပ်စုသီအိုရီ (group theory) ဆိုင်ရာ လုပ်ဆောင်ချက်၊ ဝီလျံ ရိုဝမ် ဟာမီလ်တန် ၏ ဖလှယ်၍မရသော ကွာတာနီယွန်များ (non-commutative quaternions) ကို တီထွင်မှုနှင့် ဂျော့ချ် ဘူးလ် ၏ ယုတ္တိဗေဒ အက္ခရာသင်္ချာတို့နှင့်အတူ (algebra of logic) အက္ခရာသင်္ချာသည် ရိုးရာကိန်းများနှင့် အမှီအခိုကင်းသော လေ့လာမှုတစ်ရပ် ဖြစ်လာခဲ့သည်။ ယင်းသည် တိကျသော နဂိုမှန်အဆိုများ (axioms) နှင့် ပေါင်းစပ်ခြင်း နိယာမများဖြင့် (laws of combination) သတ်မှတ်ထားသော သရုပ်မဲ့ စနစ်များကို လေ့လာခြင်း ဖြစ်လာခဲ့သည်။

• ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာ နှင့် ကဲကုလပ် (Analysis and Calculus) - ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာ (Analysis) သည် အဆက်မပြတ်ဖြစ်သော ပမာဏများ (continuous magnitudes)၊ စုဆုံမှတ်များ (limits) နှင့် အနန္တ လုပ်ငန်းစဉ်များကို (infinite processes) ကိုင်တွယ်ဖြေရှင်းသော သင်္ချာဘာသာရပ်ခွဲ ဖြစ်သည်။ ၎င်း၏ အစောဆုံး မူလအစမှာ ဂရိလူမျိုးများ၏ "ကုန်စင်အောင်လုပ်ခြင်း နည်းလမ်း" (method of exhaustion) တွင် တည်ရှိသည်။ ၎င်းကို ကနိုင်းဒပ်စ်မှ ယူဒေါက်စပ်စ် က သဘောတရားရေးရာအရ တီထွင်ခဲ့ပြီး အာခီမီးဒီးစ် က ဧရိယာများနှင့် ထုထည်များကို ရှာဖွေရာတွင် စနစ်တကျ အသုံးချခဲ့သည်။ ၁၇ ရာစု နှောင်းပိုင်းတွင် အိုင်ဆက် နယူတန် နှင့် ဂေါ့ဖရိဒ် ဝီလ်ဟမ် လိုက်ဘ်နစ်ဇ် တို့သည် အလွန်သေးငယ်လွန်းသော ပမာဏများဆိုင်ရာ (infinitesimals) သဘောတရားများကို စုစည်း၍ ကဲကုလပ် (Calculus) ကို သီးခြားစီ တီထွင်ခဲ့ကြသည်။ ၎င်းသည် ထိမျဉ်းများ သို့မဟုတ် ဆင်းသက်ချက်များကို (derivatives) ရှာဖွေရန် ယေဘုယျ အဆင့်ဆင့်တွက်နည်းများကို (algorithms) ထောက်ပံ့ပေးသည်။ ထို့ပြင် ဧရိယာများ သို့မဟုတ် အင်တီဂရယ်များကို (integrals) ရှာဖွေရန်အတွက်လည်း အဆင့်ဆင့်တွက်နည်းများကို ထောက်ပံ့ပေးသည်။ ၁၉ ရာစုတွင် အော်ဂက်စတင် လူဝီ ကော်ချီ၊ ကားလ် ဗိုင်ယာရှထရပ်စ် နှင့် ရစ်ချတ် ဒက်ဒီကင်း ကဲ့သို့သော သင်္ချာပညာရှင်များသည် ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာကို "ဂဏန်းသင်္ချာအသွင်ပြောင်း" (arithmetized) ခဲ့ကြသည်။ သူတို့သည် ၎င်းကို ဂျီဩမေတြီဆိုင်ရာ ပင်ကိုသိစိတ်အပေါ် (geometric intuition) မှီခိုနေရခြင်းမှ ဖယ်ရှားပေးခဲ့သည်။ ထို့နောက် စုဆုံမှတ်များ၊ အဆက်မပြတ်ဖြစ်ခြင်း (continuity) နှင့် ကိန်းစစ်များ၏ (real numbers) တိကျသေချာသော အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်များအပေါ် အခြေခံသည့် တိကျသေချာသော အခြေခံအုတ်မြစ်ပေါ်တွင် (rigorous foundation) တည်ဆောက်ခဲ့သည်။

• တိုပေါ်လော်ဂျီ (Topology) - ကနဦးတွင် နေရာအား ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာခြင်းအဖြစ် (analysis situs) ပေါ်ထွက်လာသော တိုပေါ်လော်ဂျီသည် ရပ်ဝန်းဆိုင်ရာ ဖွဲ့စည်းပုံများ၏ (spatial configurations) မွေးရာပါ အရည်အသွေးပိုင်းဆိုင်ရာ အသွင်အပြင်များကို (qualitative aspects) လေ့လာခြင်းဖြစ်သည်။ ဤအသွင်အပြင်များသည် အဆက်မပြတ်ဖြစ်သော တစ်-တစ် အသွင်ပြောင်းခြင်းများအောက်တွင် (continuous one-to-one transformations) မပြောင်းလဲသော ဂုဏ်သတ္တိ (invariant) အဖြစ် တည်ရှိနေသည်။ ဤဘာသာရပ်ကို လူအများက "ရာဘာချပ် ဂျီဩမေတြီ" ဟုလည်း ခေါ်ဆိုလေ့ရှိကြသည်။ အွန်ရီ ပွန်ကာရေး သည် ၁၉ ရာစု နှောင်းပိုင်းတွင် အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ တိုပေါ်လော်ဂျီ သို့မဟုတ် ပေါင်းစပ်ခြင်းဆိုင်ရာ တိုပေါ်လော်ဂျီကို (combinatorial topology) စတင်တည်ထောင်သူဟု ဆိုနိုင်သည်။ သူသည် ပုံသဏ္ဌာန်များကို မန်နီဖိုးများအဖြစ် (manifolds) ရှုမြင်ခဲ့ပြီး ၎င်းတို့၏ ဆက်စပ်နေမှုကို လေ့လာခဲ့သည်။ နောက်ပိုင်းတွင် ဖဲလစ် ဟောက်စ်ဒေါ့ဖ် ကဲ့သို့သော ပုဂ္ဂိုလ်များသည် အစုသီအိုရီအခြေခံ တိုပေါ်လော်ဂျီ (point-set topology) အတွက် နဂိုမှန်အဆိုဆိုင်ရာ အခြေခံအုတ်မြစ်ကို (axiomatic foundation) ပံ့ပိုးပေးခဲ့ကြသည်။ သူတို့သည် အစုဝင်များ၏ ပတ်ဝန်းကျင်များကြားရှိ (neighborhoods of elements) ဆက်သွယ်ချက်များအပေါ်တွင်သာ အပြည့်အဝအခြေခံ၍ သရုပ်မဲ့ ရပ်ဝန်းများကို ဖန်တီးခဲ့ကြသည်။

• ဖြစ်တန်စွမ်း နှင့် အသုံးချ သင်္ချာ (Probability and Applied Mathematics) - ဖြစ်တန်စွမ်း သီအိုရီ (probability theory) သည် ၁၇ ရာစုတွင် ဘလေ့စ် ပက်စ်ကယ် နှင့် ပီယား ဒေ ဖဲမ တို့ကြား ကံစမ်းကစားနည်းများနှင့် (games of chance) ပတ်သက်၍ စာပေးစာယူပြုလုပ်ရာမှ စတင်ခဲ့သည်။ ၎င်းကို ၁၉ ရာစု အစောပိုင်းတွင် ပီယား ဆိုင်မွန် လာပလေ့စ် က အဓိကကျသော သိပ္ပံနည်းကျ ကိရိယာတစ်ခုအဖြစ် စနစ်တကျ တိုးချဲ့ခဲ့သည်။ ၂၀ ရာစုတွင် အသုံးချ သင်္ချာ (Applied mathematics) သည် ဂိမ်းသီအိုရီ (game theory)၊ ဆိုက်ဘာနက်တစ်နှင့် (cybernetics) ကွန်ပျူတာသိပ္ပံကဲ့သို့သော (computer science) နယ်ပယ်များသို့ အကြီးအကျယ် ကျယ်ပြန့်လာခဲ့သည်။ ၎င်းကို ဂျွန် ဖွန်နွိုင်းမန်း နှင့် အလန် ကျူးရင်း ကဲ့သို့သော သင်္ချာပညာရှင်များက ရှေ့ဆောင်လမ်းပြခဲ့ကြသည်။ ကွန်ပျူတာများသည် သင်္ချာဆိုင်ရာ သုတေသနကို အခြေခံမှစ၍ ပြောင်းလဲပစ်ခဲ့သည်။ ၎င်းတို့သည် ကိန်းဂဏန်းဆိုင်ရာ ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာခြင်းတွင် (numerical analysis) အထောက်အကူပြုခဲ့ပြီး နောက်ဆုံးတွင် အရောင်လေးမျိုး ယူဆချက်ကဲ့သို့သော (Four-Color Conjecture) ရှုပ်ထွေးသည့် သင်္ချာသီအိုရီများကို သက်သေပြရန်အတွက် လိုအပ်သော ကြီးမားလှသည့် တွက်ချက်မှုဆိုင်ရာ စွမ်းအားကို (computational power) ထောက်ပံ့ပေးနိုင်ခဲ့သည်။