p-군

군론에서 p-군(영어: p-group)은 모든 원소의 위수가 소수 $p$ 의 거듭제곱인 군이다.

정의

$p$ 가 소수라 하자. $p$ -군은 모든 원소의 위수가 소수 $p$ 의 거듭제곱인 군이다. 즉, 군 $G$ 의 모든 원소 $g\in G$ 에 대하여,

g^{p^{n(g)}}=1

인 $n(g)\in \mathbb {N}$ 이 존재할 경우, $G$ 를 $p$ -군이라고 한다.

성질

유한 $p$ -군의 크기는 항상 $p$ 의 거듭제곱이다. 반대로, 크기가 $p$ 의 거듭제곱인 유한군은 항상 $p$ -군이다.

번사이드 정리에 따라, 유한 $p$ -군은 항상 가해군이다. 사실, 유한 $p$ -군은 항상 멱영군이며, 반대로 유한 멱영군은 항상 (서로 다른 $p$ 에 대한) $p$ -군들의 직접곱이다. $a\geq 2$ 에 대하여, 크기가 $p^{a}$ 인 유한 $p$ -군의 멱영류는 $a-1$ 이하이다.

자명군이 아닌 유한 $p$ -군은 항상 자명하지 않은 중심을 갖는다.

유한 $p$ -군의 프라티니 부분군에 대한 몫군은 크기 $p$ 의 순환군들의 직접곱(즉, $\mathbb {F} _{p}$ -벡터 공간의 덧셈군)이다.

분류

유한 $p$ -군은 크기 $p^{n}$ 에 따라 분류할 수 있다. $n\leq 6$ 인 경우는 모두 분류되었고, $n\geq 7$ 인 경우는 가짓수가 매우 많아 나열하기 힘들다.

n=log_p\|G\|	아벨 p-군	비아벨 p-군
0	자명군 1	(없음)
1	순환군 $\mathbb {Z} /p$	(없음)
2	$(\mathbb {Z} /p)^{\oplus 2}$ , $\mathbb {Z} /p^{2}$	(없음)
3 ( $p>2$ )	$(\mathbb {Z} /p)^{\oplus 3}$ , $\mathbb {Z} /p^{2}\oplus \mathbb {Z} /p$ , $\mathbb {Z} /p^{3}$	$(\mathbb {Z} /p)^{\oplus 2}\rtimes \mathbb {Z} /p$ , $(\mathbb {Z} /p^{2})\rtimes \mathbb {Z} /p$
3 ( $p=2$ )	( $p>2$ 인 경우와 동일)	정이면체군 $\operatorname {Dih} _{4}$ , 사원수군 $Q_{8}$

참고 문헌

Hall, Philip (1940). “The classification of prime-power groups”. 《Journal für die reine und angewandte Mathematik》 182 (182): 130–141. doi:10.1515/crll.1940.182.130. ISSN 0075-4102. MR 0003389.
Leedham-Green, C. R.; Susan McKay (2002). 《The structure of groups of prime power order》 (영어). London Mathematical Society Monographs (New Series) 27. Oxford University Press. ISBN 978-0-19-853548-5. MR 1918951.
Sims, Charles (1965). “Enumerating p-groups” (영어). 《Proceedings of the London Mathematical Society (Third Series)》 15: 151–166. doi:10.1112/plms/s3-15.1.151. MR 0169921.

외부 링크

“p-group” (영어). 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
Weisstein, Eric Wolfgang. “p-group” (영어). 《Wolfram MathWorld》. Wolfram Research.