넓이

넓이
일반적인 기호	A
SI 단위	제곱미터 [m2]
SI 기본 단위	1 m2
차원	${\mathsf {L}}^{2}$

넓이 또는 면적(面積, 영어: area)은 평면의 영역이나 물체의 표면이 차지하는 크기이다. 평면도형의 넓이는 기준으로 정한 작은 정사각형의 넓이와 비교하여 나타낼 수 있다. 한 변이 1 미터인 정사각형의 넓이가 1 제곱미터이며, 제곱미터는 국제단위계의 넓이 단위이다.

평면도형에서 넓이는 도형 안쪽의 크기를 나타내는 반면, 둘레는 도형의 경계를 따라 잰 길이이다. 입체에서는 표면 전체의 넓이를 겉넓이라고 하며, 입체가 공간에서 차지하는 크기인 부피와 구별한다. 따라서 같은 길이 단위를 바탕으로 하더라도 길이에는 m, 넓이에는 m², 부피에는 m³처럼 서로 다른 단위를 쓴다.

직사각형·삼각형·원 등은 변의 길이, 높이, 반지름을 재어 넓이를 계산할 수 있다. 더 복잡한 영역은 간단한 도형으로 나누거나 격자로 근사하고, 곡선으로 둘러싸인 영역은 적분을 이용하여 구할 수 있다. 이러한 방법은 도형의 조각마다 넓이를 구해 더한다는 공통된 원리를 바탕으로 한다.

토지와 건축물의 면적을 나타낼 때에는 표면 자체의 넓이, 수평면에 투영한 넓이, 여러 층의 넓이를 합한 값처럼 측정 대상과 범위를 구별한다. 넓이는 물리학에서 단위 넓이당 작용하는 힘으로 나타내는 압력을 설명하는 데에도 쓰인다.

개념과 기본 성질

단위 넓이와 측정

같은 크기의 정사각 격자 위에 놓인 여러 도형. 경계가 칸을 가로지르면 칸의 일부만 도형에 포함된다.

넓이를 수로 나타내려면 먼저 단위를 정해야 한다. 한 변이 1 cm인 정사각형을 단위로 삼으면, 그 정사각형을 빈틈없이 12개 놓아 덮을 수 있는 영역의 넓이는 12 cm²이다. 가로가 4 cm, 세로가 3 cm인 직사각형에서는 한 줄에 4개씩 3줄을 놓을 수 있으므로 같은 넓이를 얻는다. 이처럼 단위 정사각형을 세는 생각에서 직사각형의 넓이를 가로와 세로의 곱으로 구하는 공식이 나온다.

길이가 단위의 정수배가 아니거나 경계가 굽어 있으면, 단위 정사각형만으로 도형을 정확히 덮기 어려울 수 있다. 이때는 더 작은 정사각형으로 나누거나 경계 부근을 근사한다. 단위를 바꾸어도 도형 자체의 크기는 그대로이며, 그 크기를 나타내는 수만 달라진다. 예를 들어 1 m²와 10,000 cm²는 같은 넓이이다.

넓이의 성질

일반적인 평면도형의 넓이는 다음 성질을 갖는다.

• 음이 아닌 값: 넓이는 0 이상이다.
• 합동 불변성: 도형을 평행이동하거나 회전하거나 뒤집어도 넓이는 변하지 않는다. 따라서 합동인 두 도형의 넓이는 같다.
• 가법성: 도형을 내부가 겹치지 않는 유한 개의 다각형 조각으로 나누면, 원래 넓이는 각 조각의 넓이를 더한 값이다. 조각을 겹치지 않게 재배열해도 전체 넓이는 같다.
• 포함관계: 한 도형이 다른 도형에 포함되면, 포함된 도형의 넓이는 바깥 도형의 넓이보다 크지 않다.

두 영역이 겹칠 때는 각각의 넓이를 단순히 더하면 겹친 부분을 두 번 세게 된다. 넓이가 정의되는 두 영역을 $E$, $F$라 하고 넓이를 $S$로 나타내자. 두 영역의 넓이가 모두 유한할 때

$S(E\cup F)=S(E)+S(F)-S(E\cap F)$

가 성립한다. 여기서 $E\cup F$는 두 영역을 합친 부분이고, $E\cap F$는 공통으로 겹치는 부분이다.

닮음에서는 대응하는 길이의 비가 일정하다. 양수 $k$에 대해 모든 길이를 $k$배로 확대하면 넓이는 $k^{2}$배가 된다. 예를 들어 가로와 세로를 모두 2배로 늘린 직사각형은 원래 직사각형 4개를 놓은 크기가 된다. 도형 전체의 길이를 절반으로 줄이면 넓이는 4분의 1이 된다. 이 성질은 도형이 합동이 아니더라도 닮은 도형의 넓이를 비교하는 데 쓰인다.

둘레와 넓이의 차이

같은 둘레를 갖는 도형이라도 넓이는 서로 다를 수 있다. 가로와 세로가 각각 1 cm와 5 cm인 직사각형, 2 cm와 4 cm인 직사각형, 한 변이 3 cm인 정사각형은 모두 둘레가 12 cm이다. 그러나 넓이는 차례로 5 cm², 8 cm², 9 cm²이다. 이처럼 경계의 길이만으로 내부의 넓이를 결정할 수 없다.

같은 둘레로 가장 넓은 영역을 둘러싸는 도형을 찾는 문제를 등주문제라고 한다. 평면에서 자기 교차가 없고 길이가 유한한 닫힌 곡선의 길이를 $P$, 그 곡선이 둘러싼 넓이를 $S$라 하면

$4\pi S\leq P^{2}$

가 성립하며, 등호는 경계가 원일 때에만 성립한다. 따라서 같은 둘레를 가진 이러한 영역 중에서는 원으로 둘러싸인 영역의 넓이가 가장 크다.

단위

넓이는 길이의 제곱에 해당하는 차원을 갖는다. SI 단위인 제곱미터는 기본 단위인 미터에서 얻는 유도 단위이다. 제곱센티미터와 제곱킬로미터처럼 길이 단위에 접두어를 붙여 얻은 넓이 단위도 사용한다.

길이의 환산비는 넓이에서 제곱된다. 1 m가 100 cm이므로

$1\,\mathrm {m} ^{2}=(100\,\mathrm {cm} )^{2}=10\,000\,\mathrm {cm} ^{2}$

이고, 1 km²는 1,000 m의 제곱이므로 1,000,000 m²이다. 기호 cm²는 ‘1 cm를 한 변으로 하는 정사각형의 넓이’를 뜻하며, m²의 100분의 1이 아니다.

넓이 단위의 환산

단위	기호 또는 표기	제곱미터로 나타낸 값
제곱밀리미터	mm²	0.000001 m²
제곱센티미터	cm²	0.0001 m²
제곱미터	m²	1 m²
제곱킬로미터	km²	1,000,000 m²
아르	a	100 m²
헥타르	ha	10,000 m²
평	평	${\dfrac {400}{121}}\,\mathrm {m} ^{2}\approx 3.305785\,\mathrm {m} ^{2}$
에이커	acre	4,046.8564224 m²

아르와 헥타르는 토지의 넓이를 나타낼 때 쓰이는 비SI 단위이며, 1 ha는 100 a이다. 평은 척관법에서 한 변이 6자인 정사각형의 넓이에 해당한다. 표의 에이커 값은 국제 피트를 기준으로 한 값이다.

공식

다각형

다음 표는 대표적인 평면도형의 넓이 공식이다. 넓이는 $S$로 나타내고, 각 행의 길이는 같은 단위로 잰다. 높이는 밑변을 포함하는 직선에 수직으로 잰 거리이다. 따라서 비스듬한 옆변의 길이를 높이 대신 넣어서는 안 된다.

대표적인 다각형의 넓이

도형	넓이 $S$	기호의 뜻
정사각형	$a^{2}$	$a$: 한 변의 길이
직사각형	$ab$	$a,b$: 가로와 세로의 길이
평행사변형	$bh$	$b$: 밑변의 길이, $h$: 그 밑변에 대한 높이
삼각형	${\dfrac {1}{2}}bh$	$b$: 밑변의 길이, $h$: 맞은편 꼭짓점에서 밑변을 포함하는 직선까지의 거리
사다리꼴	${\dfrac {1}{2}}(a+b)h$	$a,b$: 서로 평행한 두 변의 길이, $h$: 그 두 변을 포함하는 직선 사이의 거리
마름모	${\dfrac {1}{2}}d_{1}d_{2}$	$d_{1},d_{2}$: 두 대각선의 길이
볼록 정다각형	${\dfrac {1}{2}}Pr$	$P$: 둘레, $r$: 내접원의 반지름

마름모는 평행사변형이므로 밑변과 높이를 알면 $S=bh$로도 구할 수 있다. 정다각형의 공식은 중심과 각 꼭짓점을 이어 만든 삼각형들의 넓이를 더한 것이다. 각 삼각형의 높이는 내접원의 반지름이고, 밑변을 모두 더하면 둘레가 된다.

삼각형에서는 두 변의 길이가 $a,b$이고 그 사이의 각이 $\theta$일 때 $S={\tfrac {1}{2}}ab\sin \theta$이다. 세 변의 길이만 알려져 있을 때에는 헤론의 공식을 쓸 수 있다. 세 변을 $a,b,c$, 반둘레를 $s=(a+b+c)/2$라 하면

$S={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}$

이다. 여기서는 세 길이가 양수이고, 어느 두 길이를 더해도 나머지 하나보다 커야 한다. 이 조건은 세 선분이 넓이가 양수인 삼각형을 이루기 위한 삼각 부등식이다.

원과 타원

원에 대해 ‘원의 넓이’라고 할 때는 보통 원주 자체가 아니라 원으로 둘러싸인 영역의 넓이를 뜻한다. 원의 반지름이 $r$이면 넓이는 $\pi r^{2}$이고, 원주율 $\pi$는 원의 둘레를 지름으로 나눈 비이다.

원과 관련된 영역 및 타원의 넓이

영역	넓이 $S$	기호와 조건
원으로 둘러싸인 영역	$\pi r^{2}$	$r$: 반지름
고리 모양의 영역	$\pi (R^{2}-r^{2})$	같은 중심을 가진 두 원 사이의 영역. $R$: 바깥 반지름, $r$: 안쪽 반지름, $R>r\geq 0$
부채꼴	${\dfrac {\alpha }{360}}\pi r^{2}$	$r$: 반지름, 중심각이 $\alpha ^{\circ }$일 때, $0\leq \alpha \leq 360$
부채꼴	${\dfrac {1}{2}}r^{2}\theta ={\dfrac {1}{2}}r\ell$	$\theta$: 라디안으로 잰 중심각, $0\leq \theta \leq 2\pi$, $\ell =r\theta$: 호의 길이
타원으로 둘러싸인 영역	$\pi ab$	$a,b$: 긴 축과 짧은 축 길이의 각각 절반인 반장축과 반단축, $a\geq b>0$

부채꼴의 넓이는 중심각이 원 한 바퀴에서 차지하는 비율만큼 원의 넓이를 나눈 값이다. 중심각을 도로 나타내면 360으로 나누고, 라디안으로 나타내면 한 바퀴가 $2\pi$이므로 ${\tfrac {1}{2}}r^{2}\theta$가 된다. 같은 수치를 두 공식에 그대로 넣는 것이 아니라, 각을 나타내는 단위를 먼저 구별해야 한다.

타원의 넓이는 원을 가로와 세로 방향으로 서로 다르게 늘리는 방법으로 이해할 수 있다. 반지름이 1인 원의 영역을 가로로 $a$배, 세로로 $b$배 늘리면 반장축과 반단축이 $a,b$인 타원이 된다. 이때 넓이는 $ab$배가 되어 $\pi ab$를 얻는다.

넓이 공식의 유도

직사각형과 평행사변형

평행사변형의 한쪽 삼각형 조각을 반대쪽으로 옮기면 밑변과 높이가 같은 직사각형이 된다. $b$는 밑변의 길이, $h$는 수직 높이이다.

직사각형의 가로와 세로가 단위 길이의 정수배이면, 단위 정사각형을 줄과 칸으로 나누어 세는 방법으로 곱셈 공식을 얻는다. 길이가 유리수이면 단위를 더 잘게 나누어 같은 방법을 적용할 수 있다. 가로와 세로가 임의의 양의 실수이면, 유리수 길이를 갖는 더 작은 직사각형과 더 큰 직사각형으로 안팎에서 근사할 수 있다. 두 직사각형의 넓이 차이를 점점 줄이면 같은 공식 $S=ab$를 얻는다.

평행사변형은 삼각형 조각을 잘라 옮기는 방법으로 밑변과 높이가 같은 직사각형으로 재배열할 수 있다. 조각의 넓이와 전체 넓이는 재배열로 변하지 않으므로 평행사변형의 넓이는 $bh$이다. 이 설명에서 높이는 두 평행한 변 사이의 수직 거리이므로, 평행사변형이 옆으로 기울어도 밑변과 높이가 같으면 넓이는 같다.

삼각형과 사다리꼴

평행사변형을 대각선으로 나눈 두 삼각형은 합동이다. 각 삼각형의 넓이는 밑변 $b$와 높이 $h$가 같은 평행사변형 넓이의 절반이다.

삼각형을 하나 더 복사하여 180° 돌린 뒤 원래 삼각형과 한 변을 따라 붙이면 평행사변형을 만들 수 있다. 그 평행사변형의 밑변과 높이를 $b,h$라 할 때 전체 넓이는 $bh$이고 두 삼각형의 넓이가 같으므로, 삼각형 하나의 넓이는 ${\tfrac {1}{2}}bh$이다. 둔각삼각형에서 높이의 발이 밑변의 연장선 위에 놓이는 경우에도 같은 공식이 성립한다.

사다리꼴을 대각선으로 나누면, 밑변의 길이가 각각 $a,b$이고 높이가 같은 두 삼각형을 얻는다. 따라서 넓이는 ${\tfrac {1}{2}}ah+{\tfrac {1}{2}}bh={\tfrac {1}{2}}(a+b)h$이다. 마름모에서는 두 대각선이 서로 수직으로 이등분하므로, 대각선으로 나뉜 네 직각삼각형의 넓이를 더하면 ${\tfrac {1}{2}}d_{1}d_{2}$를 얻는다.

원

원을 부채꼴로 나누어 재배열한 모습. 조각 수를 늘릴수록 높이가 반지름 $r$, 가로가 원둘레의 절반인 $\pi r$에 가까운 직사각형으로 근사된다.

원을 같은 중심각의 작은 부채꼴로 나누어 위아래가 번갈아 오도록 늘어놓으면, 길쭉한 도형을 만들 수 있다. 조각 수가 유한할 때는 위아래 경계가 굽어 있지만, 조각 수를 늘릴수록 높이가 $r$, 가로가 원둘레의 절반인 $\pi r$에 가까운 직사각형으로 근사된다. 그 넓이의 극한은 $r\cdot \pi r=\pi r^{2}$이다.

원의 넓이는 내접·외접 정다각형을 이용해서도 구할 수 있다. 원에 내접한 정다각형의 넓이는 원의 넓이보다 작고, 외접한 정다각형의 넓이는 크다. 변의 수를 늘려 두 넓이를 원의 넓이에 가까이 접근시키면 원의 넓이를 결정할 수 있다. 중심에서 꼭짓점으로 나눈 삼각형의 넓이를 더하는 방법은 정다각형과 원의 넓이 공식을 연결한다.

일반적인 다각형의 넓이

 다각형 및 삼각분할 문서를 참고하십시오.

분할과 재배열

자기 교차가 없는 다각형인 단순 다각형은 내부가 겹치지 않는 삼각형들로 나눌 수 있다. 꼭짓점이 $n$개인 다각형을 새 꼭짓점을 추가하지 않고 대각선으로 삼각분할하면 삼각형 $n-2$개를 얻는다. 따라서 다각형의 넓이는 각 삼각형의 넓이를 더하여 구할 수 있다. 이 방법은 볼록다각형뿐 아니라 오목다각형에도 적용된다.

구멍이 있는 영역은 바깥 경계가 둘러싼 넓이에서 구멍 부분의 넓이를 빼면 된다. 여러 부분으로 떨어져 있는 영역은 각 부분의 넓이를 더한다. 복잡한 도형을 작은 도형으로 나누는 것은 넓이의 가법성을 계산에 이용하는 방법이다.

넓이가 같은 두 단순 다각형은 한쪽을 유한 개의 다각형 조각으로 나누고, 그 조각들을 겹치지 않게 재배열하여 다른 쪽을 만들 수 있다. 이는 볼야이–게르빈 정리로 알려져 있으며, 넓이가 같은 다각형 사이의 관계를 분할과 재배열로 나타낸다.

좌표를 이용한 계산

 이 부분의 본문은 신발끈 공식입니다.

다각형의 꼭짓점 좌표를 알면 변의 길이나 높이를 따로 구하지 않고 넓이를 계산할 수 있다. 경계를 따라 순서대로 나열한 꼭짓점을

$(x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2}),\ldots ,(x_{n},y_{n})$

이라 하고, 마지막 꼭짓점 다음에는 첫 꼭짓점을 다시 잇는다. 자기 교차가 없는 다각형의 넓이는

$S={\frac {1}{2}}\left|\sum _{i=1}^{n}\left(x_{i}y_{i+1}-x_{i+1}y_{i}\right)\right|,\qquad (x_{n+1},y_{n+1})=(x_{1},y_{1})$

이다. 이것을 신발끈 공식이라고 한다. 가로·세로 좌표는 같은 길이 단위와 서로 수직인 축을 기준으로 한다.

절댓값을 취하기 전의 값은 꼭짓점을 반시계 방향으로 나열하면 양수이고, 시계 방향으로 나열하면 음수이다. 순서를 뒤집어도 실제 넓이는 변하지 않으므로 절댓값을 쓴다. 꼭짓점을 경계를 따르지 않고 뒤섞거나 자기 교차하는 다각선에 적용하면, 그 결과를 일반적인 내부 넓이로 바로 해석할 수 없다.

예를 들어 꼭짓점이 순서대로 $(0,0),(4,0),(4,3),(0,3)$인 직사각형에서는 두 곱의 합이 각각 24와 0이다. 따라서 넓이는 ${\tfrac {1}{2}}|24-0|=12$로, 가로와 세로를 곱한 값과 같다.

격자점을 이용한 계산

 이 부분의 본문은 픽의 정리입니다.

꼭짓점이 모두 정수 좌표에 놓인 단순 다각형에는 픽의 정리를 적용할 수 있다. 한 칸의 넓이를 1로 하는 정사각 격자에서 다각형 안쪽의 격자점 수를 $I$, 경계 위의 격자점 수를 $B$라 하면

$S=I+{\frac {B}{2}}-1$

이다. 경계의 점을 셀 때는 꼭짓점뿐 아니라 변 위에 놓인 모든 격자점을 센다. 오목다각형에도 성립하지만, 구멍이 있거나 자기 교차하는 경우에는 이 식을 그대로 사용할 수 없다.

같은 4×3 직사각형에서 내부 격자점은 6개, 경계 격자점은 14개이다. 픽의 정리로 계산하면 $6+14/2-1=12$가 되어 좌표로 구한 넓이와 일치한다.

측정과 활용

측정 대상과 기준

같은 물체라도 어느 부분을 측정하는지에 따라 넓이가 달라진다. 경사진 땅의 표면을 따라 잰 넓이와 그 땅을 수평면에 수직으로 투영한 넓이는 구별된다. 수평투영면적은 위에서 내려다본 영역의 넓이에 해당하며, 지표면의 경사나 굴곡을 따라 잰 넓이를 뜻하지 않는다.

토지의 면적은 측량과 토지 관리에 사용된다. 예를 들어 대한민국의 토지대장과 임야대장에 등록되는 면적은 각 필지의 수평면상 넓이이다. 따라서 지적공부의 면적과 지표면 자체의 넓이는 측정 기준이 다르다.

건축물에서는 측정하는 범위와 합산 방법도 구별한다. 대한민국의 건축법령에서 건축면적은 원칙적으로 외벽의 중심선으로 둘러싸인 부분을 수평면에 투영한 넓이이고, 바닥면적은 각 층 또는 그 일부를 정해진 경계에 따라 수평면에 투영한 넓이이다. 연면적은 한 건축물의 각 층 바닥면적을 합한 값이다. 이처럼 같은 건물의 면적이라도 수평면에 투영한 범위와 여러 층을 합산한 범위에 따라 서로 다른 값을 나타낸다.

격자를 이용한 근사

하늘색 칸은 모두 도형 안에 있고, 하늘색과 초록색 칸을 합치면 도형 전체를 덮는다. 그림의 $n_{i}$는 안쪽 칸 수이고 $n_{e}$는 두 색을 합친 전체 칸 수이다.

불규칙한 경계를 가진 영역은 모눈 위에 놓거나 경계를 모눈종이에 옮겨 넓이를 근사할 수 있다. 한 칸의 넓이를 $q$라 하고, 영역 안에 완전히 들어간 칸의 수를 $n_{i}$, 영역을 덮는 데 사용한 모든 칸의 수를 $n_{e}$라 하면

$n_{i}q\leq S\leq n_{e}q$

이다. 경계에 걸친 칸을 얼마나 포함하는지에 따라 아래쪽과 위쪽에서 넓이를 근사한 것이다. 다각형이나 원처럼 경계의 평면 넓이가 0인 유계 영역에서는 격자를 충분히 잘게 나누면 두 근삿값의 차이를 작게 만들 수 있다.

실제 영역과 닮게 그린 평면도에서는 길이의 축척을 제곱하여 넓이를 환산한다. 길이의 축척이 1:$k$이면 실제 넓이는 평면도에서 잰 넓이의 $k^{2}$배이다. 축척이 1:1,000인 평면도에서 1 cm²인 영역은 실제로 1,000,000 cm², 즉 100 m²에 해당한다.

지도와 지리정보

면적계 또는 플래니미터는 지도나 도면에 나타난 닫힌 경계를 따라 움직여 넓이를 재는 기구이다. 일부 기계식 면적계의 작동은 경계를 따라 구한 선적분과 내부 넓이를 연결하는 그린 정리로 설명할 수 있다.

지리 정보 시스템에서는 토지 필지·호수·행정구역 같은 영역의 경계 자료로 넓이를 계산한다. 경계를 평면 좌표로 나타내어 구한 넓이와, 지구를 나타내는 곡면 위에서 곡률을 고려하여 구한 넓이는 계산 방법이 다르다. 뒤의 방법은 지구를 구나 타원체로 근사한 표면을 기준으로 하며, 산과 골짜기의 굴곡을 모두 따라 잰 지표면의 넓이와도 구별된다. 계산 결과를 비교할 때에는 경계 자료뿐 아니라 좌표계와 기준 곡면, 계산 방법을 함께 고려한다.

지도에서 보이는 크기가 실제 면적의 비율을 그대로 나타내는 것은 아니다. 지도 투영법은 둥근 지구의 표면을 평면에 옮기는 방법이며, 거리·방향·모양·면적을 모두 보존할 수는 없다. 메르카토르 도법으로 그린 세계지도에서는 고위도 지역의 면적이 크게 왜곡된다. 반면 정적도법은 지도에 나타난 영역의 넓이가 지구를 나타내는 기준 곡면에서 대응하는 영역의 넓이에 비례하도록 만든 도법이다. 따라서 지역의 면적을 지도에서 비교하거나 계산할 때에는 투영법의 성질을 고려한다.

물리학에서의 넓이

넓이는 다른 물리량을 정의하는 데도 쓰인다. 평평한 면에 수직으로 작용하는 힘의 크기를 $F$, 그 힘이 작용하는 면의 넓이를 $S$라 하면 평균 압력 $p$는

$p={\frac {F}{S}}$

이다. 같은 크기의 힘이라도 더 작은 넓이에 작용하면 평균 압력이 커진다. 뾰족한 바늘 끝처럼 작은 접촉면에 힘이 집중되는 경우가 그 예이다. 압력의 국제단위계 단위인 파스칼은 제곱미터당 뉴턴으로, $1\,\mathrm {Pa} =1\,\mathrm {N} /\mathrm {m} ^{2}$이다.

적분과 넓이

 리만 적분 및 정적분 문서를 참고하십시오.

곡선 아래의 넓이

구간을 네 부분으로 나누고 각 구간의 왼쪽 끝점에서 곡선의 높이를 택한 직사각형 근사. 첫 구간의 높이는 0이다. 이 그림에서는 곡선이 증가하므로 직사각형 넓이의 합이 곡선 아래의 넓이보다 작다.

곡선 아래의 영역은 폭이 작은 직사각형들로 나누어 근사할 수 있다. 구간 $[a,b]$에서 연속이고 0 이상의 값을 갖는 함수 $f$를 생각하면, 각 직사각형의 높이를 곡선의 높이로 정하고 ‘높이 × 폭’을 모두 더한다. 구간을 점점 잘게 나누어 얻는 넓이 합의 극한이 곡선 $y=f(x)$, $x$축, 두 직선 $x=a$, $x=b$ 사이 영역의 넓이이다.

이를 식으로 나타내면

$S=\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}f(x_{i}^{*})\,\Delta x=\int _{a}^{b}f(x)\,dx,\qquad \Delta x={\frac {b-a}{n}}$

이다. 여기서는 ${\displaystyle a$이고, $x_{i}^{*}$는 각 작은 구간에서 택한 점이다. 합의 각 항은 직사각형 하나의 넓이를 뜻한다. 이와 같은 합을 리만 합이라 하고, 오른쪽의 기호는 $a$에서 $b$까지의 정적분을 뜻한다.

부호 있는 적분과 실제 넓이

정적분에서는 가로축 위의 파란 영역이 양수로, 아래의 노란 영역이 음수로 기여한다. 실제 전체 넓이는 위아래 영역의 넓이를 모두 더한 값이다.

함수가 음수인 부분까지 포함하면 정적분 값과 영역의 실제 넓이가 달라질 수 있다. $\int _{a}^{b}f(x)\,dx$에서는 $x$축 위의 부분은 양수, 아래의 부분은 음수로 합쳐진다. 반면 기하학적 넓이는 두 부분을 모두 양수로 더해야 한다. 따라서 ${\displaystyle a$인 구간에서 연속함수의 그래프와 $x$축 사이의 전체 넓이는

$S=\int _{a}^{b}|f(x)|\,dx$

이다.

예를 들어 $f(x)=x$를 $-1\leq x\leq 1$에서 적분하면, 왼쪽의 음수 부분과 오른쪽의 양수 부분이 상쇄되어 정적분 값은 0이다. 그러나 그래프와 $x$축 사이에는 넓이가 각각 ${\tfrac {1}{2}}$인 두 삼각형이 있으므로 실제 전체 넓이는 1이다. 정적분 값 0은 두 영역의 부호 있는 넓이가 상쇄된 결과이다.

두 곡선 사이의 넓이

${\displaystyle a$인 구간 $[a,b]$에서 두 연속함수 $f,g$가 $f(x)\geq g(x)$를 만족하면, 두 그래프 사이의 세로 길이는 $f(x)-g(x)$이다. 따라서 두 곡선과 양 끝의 수직선으로 둘러싸인 영역의 넓이는

$S=\int _{a}^{b}{\bigl (}f(x)-g(x){\bigr )}\,dx$

이다. 곡선이 서로 교차하여 위아래가 바뀌면 교점에서 구간을 나누어 위쪽 함수에서 아래쪽 함수를 빼거나, 한 식으로

$S=\int _{a}^{b}|f(x)-g(x)|\,dx$

라고 쓴다. 이 계산에서는 두 그래프의 높이 차이를 양수로 더하므로, 두 곡선이 $x$축 위에 있는지 아래에 있는지와 관계없이 같은 방법을 적용한다.

이중적분

 이 부분의 본문은 다중적분입니다.

평면 영역 전체를 작은 조각으로 나누어 더하는 생각은 이중적분으로 나타낼 수 있다. 다각형이나 원처럼 경계의 평면 넓이가 0인 유계 영역 $D$에 대해

$S(D)=\iint _{D}1\,dA$

이다. 기호 $dA$는 작은 넓이 요소를 뜻하고, 적분하는 함수가 1이라는 것은 각 조각의 넓이를 그대로 더한다는 뜻이다. 영역을 세로 방향의 띠로 나누면 두 곡선 사이의 넓이 공식이 나오고, 가로 방향으로 나누어도 같은 넓이를 얻는다.

곡면의 넓이

 이 부분의 본문은 겉넓이입니다.

곡면의 넓이는 그 표면을 따라 잰 크기이다. 곡면을 평면에 투영했을 때의 넓이와는 일반적으로 다르다. 다면체의 겉넓이는 각 면의 넓이를 더하여 구하고, 매끄러운 곡면에서는 표면의 국소적인 기울기와 늘어나는 정도를 고려한 면적분으로 넓이를 구한다. 예를 들어 반지름이 $r$인 구의 겉넓이는 $4\pi r^{2}$이다.

곡면이 평면 영역 $D$ 위에서 높이 $z=f(x,y)$로 주어지고 $f$의 일차 편도함수가 연속이면, 그 넓이는

$S=\iint _{D}{\sqrt {1+\left({\frac {\partial f}{\partial x}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial f}{\partial y}}\right)^{2}}}\,dA$

로 나타낸다. 두 편미분은 각각 가로·세로 방향의 기울기를 나타낸다. 제곱근 안의 항은 기울어진 표면의 작은 조각이 평면에 투영된 조각보다 얼마나 넓은지를 보정한다. $f$가 일정하여 표면이 수평이면 두 기울기가 0이 되어 평면 영역의 넓이 공식으로 돌아간다.

넓이 개념의 확장

 측도 및 르베그 측도 문서를 참고하십시오.

다각형이나 원에서는 안쪽과 바깥쪽을 작은 직사각형으로 근사하여 같은 넓이에 접근할 수 있다. 이를 일반화한 조르당 측도는 유계집합, 즉 어떤 큰 직사각형 안에 들어가는 집합을 내부와 외부에서 유한 개의 직사각형으로 근사하는 방법이다. 두 근사의 극한이 같을 때 그 집합은 조르당 측정 가능하다고 한다. 유계집합에서는 경계의 넓이가 0이라는 조건이 조르당 측정 가능성과 동치이다.

르베그 측도는 이러한 넓이를 더 많은 집합으로 확장하며, 서로 겹치지 않는 측정 가능한 집합들을 1, 2, 3, …처럼 셀 수 있을 때 그 넓이를 모두 더할 수 있도록 한다. 이를 가산가법성이라고 한다. 평면에서 넓이는 2차원 르베그 측도로 이해할 수 있고, 조르당 측정 가능한 집합에서는 두 정의의 값이 일치한다. 다만 모든 임의의 점집합에 이러한 넓이를 부여할 수 있는 것은 아니며, 측정 가능하지 않은 집합도 존재한다.

이 관점에서는 선분이나 원주처럼 길이를 갖는 곡선도 평면의 넓이는 0일 수 있다. 예를 들어 원주는 양의 길이를 갖지만 2차원 넓이는 0이며, 원주가 둘러싼 영역의 넓이는 $\pi r^{2}$이다. 따라서 대상 자체의 넓이와 그 대상이 경계가 되어 둘러싸는 영역의 넓이를 구별한다.

역사

고대의 수학 문헌에는 토지와 도형의 넓이를 구하는 문제가 나타난다. 고대 이집트의 린드 수학 파피루스에는 넓이와 부피를 다루는 문제가 포함되어 있다. 그 가운데 문제 50은 원형 밭의 지름에서 9분의 1을 뺀 길이를 한 변으로 하는 정사각형의 넓이로 원의 넓이를 근사한다. 이는 원의 넓이를 직선으로 둘러싸인 도형의 넓이와 비교한 사례이다.

유클리드의 《원론》은 같은 밑변을 가지고 같은 평행선 사이에 놓인 평행사변형들의 넓이가 같다는 명제와, 같은 밑변·높이의 평행사변형이 삼각형의 두 배라는 명제를 다룬다. 제12권에서는 두 원의 넓이의 비가 지름의 제곱의 비와 같음을 증명한다. 이러한 논증은 도형을 분할하거나 서로 비교하여 넓이 관계를 밝히는 고전 기하학의 방법을 보여 준다.

아르키메데스는 원의 넓이가 원의 반지름과 둘레를 각각 높이와 밑변으로 하는 직각삼각형의 넓이와 같음을 논증했다. 또한 원에 내접·외접하는 정다각형을 이용하여 원의 둘레와 원주율을 위아래에서 근사했다. 이와 같이 도형을 더 단순한 도형으로 감싸 오차를 줄이는 소진법은 넓이와 부피에 관한 고대의 중요한 방법이었다.

근대의 미적분학에서는 곡선 아래의 넓이를 작은 조각의 합과 극한으로 다루게 되었다. 아이작 뉴턴과 고트프리트 빌헬름 라이프니츠의 미적분학은 넓이를 구하는 적분과 곡선의 기울기를 구하는 미분의 관계를 체계화했다. 이후 리만 적분과 르베그 측도·적분의 이론은 곡선으로 둘러싸인 도형을 넘어 함수와 집합을 다루는 넓이 개념의 기초를 마련했다.

같이 보기

• 둘레
• 겉넓이
• 부피
• 크기 정도 (넓이)
• 신발끈 공식
• 픽의 정리
• 심프슨 공식
• 등주 부등식

참고 문헌

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외부 링크

• 위키미디어 공용에 넓이 관련 미디어 분류가 있습니다.
• 미국 국립표준기술연구소의 넓이와 단위 설명 (영어)