Պի (տառ)

Տե՛ս նաև՝ Պի (այլ կիրառումներ)

Հունական այբուբեն
Αα	Ալֆա	Νν	Նյու
Ββ	Բետա	Ξξ	Քսի
Γγ	Գամմա	Οο	Օմիկրոն
Δδ	Դելտա	Ππ	Պի
Εε	Էպսիլոն	Ρρ	Ռո
Ζζ	Ձետա	Σσς	Սիգմա
Ηη	Էտա	Ττ	Տաու
Θθ	Թետա	Υυ	Իփսիլոն
Ιι	Յոտա	Φφ	Ֆի
Κκ	Կապպա	Χχ	Խի
Λλ	Լամբդա	Ψψ	Փսի
Μμ	Մյու	Ωω	Օմեգա
Պատմություն
Հնագույն տեղային տարբերակներ  · · · · ·
Կցագրեր (ϛ, ϗ, ȣ) ·Տարբերանշաններ
Թվեր՝ (6) · (90) · (900)
Այլ լեզուներում
Բակտրիերեն · Ղպտերեն · Ալբաներեն
Գիտական նշաններ
Կատեգորիա • Commons

Π π

Պի (հուն․՝ πι ), մեծատառ Π, փոքրատառ π, հունական այբուբենի տասնվեցերորդ տառն է։ Հունական այբուբենում թվային արժեքն է` 80։ Առաջացել է փյունիկերեն 𐤐 ՝ պե տառից։ Այդ տառից են առաջացել կյուրեղագիր П և լատինական P տառերը։

Համագրություններ

Հայերենի այբուբենում`	Պ
Կյուրեղագրում`	П
Լատիներենի այբուբենում՝	P
Վրացերենի այբուբենում՝	პ
Եբրայերենի այբուբենում՝	פּ
Թամիլերենի այբուբենում՝	ப்

Նշանակումները

Մեծատառ Π տառով՝

• Մաթեմատիկայում $\textstyle \prod$-ով արտահայտվում է արտադրիչների արտադրյալը, այնպես, ինչպես $\textstyle \sum$-ով՝ գումարը։
• Օսմոսային ճնշում քիմիայում

Փոքրատառ π-ով՝

• Մաթեմատիկական π ≈ 3.14159…, հաստատունը՝ շրջանագծի երկարության հարաբերությունը տրամագծին։ «π» տառը հունարեն περιφέρεια (պերիֆերիա, շրջագիծ) և περίμετρος (պարագիծ) բառերի առաջին տառն է։
• $\pi (x)$ ֆունկցիան $x$-ին չգերազանցող պարզ թվերի քանակն է։
• պարզ թվերի բաշխման ֆունկցիա մաթեմատիկայում
• պի-մեզոն կամ պիոն տարրական մասնիկը
• Մակրոտնտեսագիտությունում հաճախ նշանակում է գնաճի մակարդակը

«π» թվի հաշվարկման համար շատ բանաձևեր կան։

Հարաբերություններ

Հայտնի են $\pi$ թվի կիրառման շատ տարբերակներ՝

• Վիետի բանաձևը π թվի համար՝

${\frac {2}{\pi }}={\frac {\sqrt {2}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}{2}}\cdot \ldots$

pi թվի կիրառմումը գործողությունների մեջ՝ $\sin(2\cdot \theta )=2\cdot \sin \theta \cdot \cos \theta$, որի արդյունքում ստացվում է՝

$\phi \cdot \cos {\tfrac {\phi }{2}}\cdot \cos {\tfrac {\phi }{4}}\cdots =\sin \phi$

մնում է ավելացնել $\phi ={\tfrac {\pi }{2}}$ր և կիրառել կրկնակի կոսինուսի բանաձևը՝

• Վալիսի բանաձև։

${\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}\cdot {\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}\cdot {\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}\cdot {\frac {8}{7}}\cdot {\frac {8}{9}}\cdots ={\frac {\pi }{2}}$

• Լայբնիցի շարք՝

${\frac {1}{1}}-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{9}}-\cdots ={\frac {\pi }{4}}$

• այլ շարքեր՝

${\begin{aligned}\pi &={\tfrac {1}{2}}\sum _{k=0}^{\infty }{\tfrac {1}{16^{k}}}\left({\tfrac {8}{8k+2}}+{\tfrac {4}{8k+3}}+{\tfrac {4}{8k+4}}-{\tfrac {1}{8k+7}}\right)\\&={\tfrac {1}{4}}\sum _{k=0}^{\infty }{\tfrac {1}{16^{k}}}\left({\tfrac {8}{8k+1}}+{\tfrac {8}{8k+2}}+{\tfrac {4}{8k+3}}-{\tfrac {2}{8k+5}}-{\tfrac {2}{8k+6}}-{\tfrac {1}{8k+7}}\right)\\&=\;\;\sum _{k=0}^{\infty }{\tfrac {(-1)^{k}}{4^{k}}}\left({\tfrac {2}{4k+1}}+{\tfrac {2}{4k+2}}+{\tfrac {1}{4k+3}}\right)\end{aligned}}$

$\pi =2{\sqrt {3}}\sum \limits _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{\,3^{k}\,(2k+1)}}$

• բազմակի շարքեր՝

$\pi =8\sum \limits _{k=1}^{\infty }\sum \limits _{m=1}^{\infty }{\frac {1}{(4m-2)^{2k}}}=4\sum \limits _{k=1}^{\infty }\sum \limits _{m=1}^{\infty }{\frac {m^{2}-k^{2}}{(m^{2}+k^{2})^{2}}}={\sqrt[{4\,\,}]{360\sum \limits _{k=1}^{\infty }\sum \limits _{m=1}^{k}{\frac {1}{m(k+1)^{3}}}}}$

• Սահմաններ՝

$\pi =\lim \limits _{m\rightarrow \infty }{\frac {(m!)^{4}\,{2}^{4m}}{\left[(2m)!\right]^{2}\,m}}$

$\pi ={\sqrt {\frac {6}{\lim \limits _{n\to \infty }\prod \limits _{k=1 \atop p_{k}\in \mathbf {P} }^{n}\,\left(1-{\frac {1}{p_{k}^{2}}}\right)}}}\quad \to$ здесь $p_{k}$ — простые числа

$\pi =\lim _{n\to \infty }2^{n}\cdot {\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+\dots +{\sqrt {2}}}}}}}}}}$, որտեղ $n$ հավասար է արտահայտության արմատին։

• Էյլեր (համընդհանուր անալիզ)՝

$e^{i\pi }+1=0\;$

• Հաստատուն մեծությունների այլ կապերի՝

${\frac {\pi }{e}}=2\prod \limits _{k=1}^{\infty }\left({\frac {2k+1}{2k-1}}\right)^{2k-1}\left({\frac {k}{k+1}}\right)^{2k}$

$\pi \cdot e=6\prod \limits _{k=1}^{\infty }\left({\frac {2k+3}{2k+1}}\right)^{2k+1}\left({\frac {k}{k+1}}\right)^{2k}$

• Պուասոնի ինտեգրալ կամ Գաուսի ինտեգրալ՝

$\int \limits _{-\infty }^{+\infty }\ e^{-x^{2}}{dx}={\sqrt {\pi }}$

$\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {Br(x)}{\displaystyle e^{Br^{4}(x)}}}dx={\sqrt {\pi }},$, որտեղ $Br(x)$ — Բրինգի արմատն է։

• Ինտեգրալային սինուս`

$\int \limits _{-\infty }^{+\infty }{{\frac {\sin x}{x}}dx}=\pi$

• Արտահայտություն երկխոսության միջոցով`

$\pi ={\sqrt {6\ln ^{2}2+12\ \operatorname {Li} _{2}\left({\frac {1}{2}}\right)}}$

• անկախ ինտեգրալով՝

$\int \limits _{0}^{+\infty }{\frac {dx}{(x+1){\sqrt {x}}}}=\pi$

Տես նաև

• Հունարենի այբուբեն