Symbole modulaire

En mathématiques, les symboles modulaires, sont les générateurs d'un espace vectoriel étroitement lié à celui des formes modulaires. Ces éléments, introduits indépendamment par Bryan John Birch et Yuri Manin, permettent de faciliter le calcul effectif avec les formes modulaires, notamment grâce à l'existence d'une description simple de l'action des opérateurs de Hecke sur les symboles modulaires. Ils sont également fortement liés aux valeurs spéciales de fonctions L de formes modulaires.

Définition

Homologie des courbes modulaires

Domaine fondamental de l'action du groupe modulaire sur le demi-plan de Poincaré et ses translatés.

Soit $N$ un entier naturel non-nul. Le groupe spécial linéaire $\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )$ à coefficients dans $\mathbb {Z}$ admet

$\Gamma _{0}(N)=\left\lbrace {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )\,{\bigg \vert }\,c\equiv 0{\bmod {N}}\right\rbrace$

comme sous-groupe, d'indice fini. Le groupe groupe modulaire agit par homographies sur l'espace ${\overline {\mathfrak {H}}}={\mathfrak {H}}\cup \mathbb {P} ^{1}(\mathbb {Q} )$, où

${\mathfrak {H}}=\lbrace z\in \mathbb {C} \mid \mathrm {Im} (z)>0\rbrace$

désigne le demi-plan de Poincaré et $\mathbb {P} ^{1}(\mathbb {Q} )=\mathbb {Q} \cup \lbrace \infty \rbrace$ désigne la droite projective rationnelle. Cette action induit une action de $\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )$, et donc $\Gamma _{0}(N)$, sur ${\overline {\mathfrak {H}}}$. La courbe modulaire $X_{0}(N)$ obtenue en réalisant le quotient $\Gamma _{0}(N)\backslash {\overline {\mathfrak {H}}}$ hérite de la structure de surface de Riemann de ${\overline {\mathfrak {H}}}$.

Pour $\alpha$ et $\beta$ deux points de ${\overline {\mathfrak {H}}}$ contenus dans une même orbite de l'action de $\Gamma _{0}(N)$, le symbole $\lbrace \alpha ,\beta \rbrace$ désigne l'image d'un chemin reliant $\alpha$ à $\beta$ dans le groupe d'homologie singulière $H_{1}(X_{0}(N),\mathbb {Q} )$ à coefficients rationnels. Ce symbole ne dépend pas du chemin choisit, et dépend seulement d'un représentant des éléments $g\in \Gamma _{0}(N)$ pour lesquels $\alpha =g\cdot \beta$.

Symboles modulaires de poids 2

Le groupe abélien des symboles modulaires (de poids $2$) et de niveau $N$ réalise présentation bien choisie du groupe d'homologie $H_{1}(X_{0}(N),\mathbb {Q} )$, obtenue en triangulant la courbe modulaire $X_{0}(N)$. Plus précisément, il s'agit du groupe abélien engendré par les symboles $\lbrace \alpha ,\beta \rbrace$, où $\alpha$ et $\beta$ sont des éléments de $\mathbb {P} ^{1}(\mathbb {Q} )=\mathbb {Q}$ soumis aux relations de triangulation $\lbrace \alpha ,\beta \rbrace +\lbrace \beta ,\gamma \rbrace +\lbrace \gamma ,\alpha \rbrace =0$ et aux relations $\lbrace \alpha ,\beta \rbrace -\lbrace g\cdot \alpha ,g\cdot \beta \rbrace$, où $g$ décrit les éléments de $\Gamma _{0}(N)$.

De manière informelle, le symbole $\lbrace \alpha ,\beta \rbrace$ représente la géodésique reliant $\alpha$ à $\beta$ dans le demi-plan de Poincaré. Le théorème de Manin–Drinfeld (en) et la triangulation de $X_{0}(N)$ par les $\Gamma _{0}(N)$-translatés de la demi-droite $[0,+\infty )$ montrent que l'application

$\mathbb {M} _{2}(\Gamma _{0}(N)\to H_{1}(X_{0}(N),\lbrace {\text{pointes}}\rbrace ,\mathbb {Q} )$,

qui envoie une somme formelle de géodésiques sur leur image dans l'homologie relative, est un isomorphisme.

Il existe un couplage entre les formes modulaires paraboliques de poids $2$ et de niveau $\Gamma _{0}(N)$ et les symboles modulaires, donné par l'intégration de la forme différentielle du demi-plan supérieur associée à la forme modulaire le long du chemin correspondant au symbole modulaire.

Notes et références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Modular symbol » (voir la liste des auteurs).

• Yuri Ivanovich Manin, « Parabolic points and zeta functions of modular curves », Math. USSR Izv., vol. 6, n^o 1,‎ 1972, p. 19–64 (ISSN 0373-2436, DOI 10.1070/IM1972v006n01ABEH001867, MR 0314846, lire en ligne)
• Yuri Ivanovich Manin, « Arithmetic geometry », Clay Math. Proc., Providence, R.I., American Mathematical Society, vol. 8,‎ 2009, p. 137–152 (ISBN 978-0-8218-4476-2, MR 2498060, lire en ligne)
• J.E. Cremona, Algorithms for modular elliptic curves, Cambridge, Cambridge University Press, 1997 (ISBN 0-521-59820-6, zbMATH 0872.14041)