Produit vide

Le produit vide est le résultat d'une multiplication d'aucun nombre. En mathématiques, et plus particulièrement en algèbre, la convention^[1] établit le résultat de cette opération à 1 pour les produit sur les nombres réels.

Définition

Soit un magma unifère noté $(E,\odot )$ , un ensemble $E$ munit d'une loi de composition interne $\odot$ et possédant un élément neutre $e$ . On dit^[1] que $e$ est la composition de la famille vide d'éléments de $E$ . C'est-à-dire, si $(x_{i})_{i\in \emptyset }$ est la famille vide de $E$ , on note

$\bigodot _{i\in \emptyset }x_{i}=e$

La composition des éléments de la famille vide de $E$ par la loi de composition interne $\odot$ est définie comme l'élément neutre associé à l'opération $\odot$ . Le cas général n'est donc pas lié uniquement au produit. En effet, si la loi de composition interne est additive, il est possible de définir la somme vide.

Exemples

Nombres réels

Considérons l'exemple d'un produit $P_{1}$ de nombres réels $(x_{i})_{i\in [\![m,\,M]\!]}$ quelconques.

$P_{1}=\prod _{i=m}^{M}x_{i}={\begin{cases}x_{m}\times x_{m+1}\times \dots \times x_{M-1}\times x_{M},&{\text{si }}m\leq M,\\1,&{\text{si }}m>M.\end{cases}}$

Dans le cas où $m\leq M$ , l'ensemble des indices pris en compte dans le produit est non-vide. Les éléments correspondants à ces indices sont donc pris en compte. Cependant si $m>M$ , l'ensemble des indices considérés pour le produit est vide. Aucun élément n'est incorporé dans le calcul, et la convention^[1] fixe le résultat à $1$ .

Dans un cas similaire, l'opération factorielle d'aucun nombre vaut $0!\,=\,1$ . De même, l'opération de puissance sur aucun nombre donne $a^{0}\,=\,1$ , puisque cela revient à ne multiplier aucun nombre entre eux.

Produit cartésien d'ensemble

Le produit cartésien d'une famille d'ensembles indexée par l'ensemble vide est le singleton dont l'unique élément est la fonction vide de $\varnothing$ dans $\varnothing$ .

Produit direct

Par exemple, le produit direct vide (à un isomorphisme près) de groupes est (à un isomorphisme près) le groupe trivial, puisque chaque groupe est isomorphe à son produit direct avec le groupe trivial

Notes et références

1 2 3 (en) Nicolas Bourbaki, Elements of Mathematics - Algebra I - Chapters 1-3, Paris, Hermann Publishers, 1974, 709 p. (ISBN 2-7056-5675-8, lire en ligne), p. 82-83

Articles connexes

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[:0-1] 1 2 3 (en) Nicolas Bourbaki, Elements of Mathematics - Algebra I - Chapters 1-3, Paris, Hermann Publishers, 1974, 709 p. (ISBN 2-7056-5675-8, lire en ligne), p. 82-83

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