Champ conservatif

Un champ conservatif est un champ vectoriel dont la circulation le long de toute courbe fermée est nulle.

En notant ce champ ${\vec {E}}$, cette propriété s'exprime mathématiquement sous la forme :

$\oint {\vec {E}}\cdot \mathrm {d} {\vec {\ell }}=0$

La circulation d'un tel champ entre un point A et un point B est indépendante du chemin suivi entre A et B.

Pour qu'un champ vectoriel soit conservatif, il faut que son rotationnel soit nul en tout point de l'espace (c'est pourquoi on parle également de champ irrotationnel) :

$\operatorname {\overrightarrow {rot}} ({\vec {E}})={\vec {0}}$

On peut alors, d'après le théorème de Helmholtz, dériver ce champ d'un potentiel scalaire $V$, tel que :

${\vec {E}}=-\operatorname {\overrightarrow {grad}} (V)$

Ce faisant, toute l'information sur le champ peut être décrite en chaque point de l'espace par un nombre (soit une seule information), alors qu'un vecteur est décrit par trois informations (sa norme dans chacune des trois dimensions de l'espace).

En physique, le champ gravitationnel et le champ électrostatique sont des exemples de champ conservatif.

De même, un champ de vecteurs est dit à flux conservatif (ou solénoïdal) si son flux sur toute surface fermée est nul (d'après le théorème de Helmholtz, sa divergence est alors nulle, et réciproquement). Le champ magnétique est un exemple de champ à flux conservatif. Un tel champ peut être dérivé d'un potentiel vecteur.

Conditions pour qu'un champ soit conservatif

Un champ de vecteurs continu est à circulation conservative si et seulement si il dérive d'un champ scalaire. Dans ce cas, sa circulation d'un point A à un point B est indépendante du chemin suivi de A à B.

Soit $X$ un champ de vecteurs de classe $C^{1}$ défini sur un ouvert $U$ de $\mathbb {R} ^{n}$. Si il est à circulation conservative, on a, d'après ce qui précède, $X=\nabla f$, où $f:U\to \mathbb {R}$ est une fonction de classe $C^{2}$. Le théorème de Schwarz assure alors que ${\frac {\partial X_{j}}{\partial x_{i}}}={\frac {\partial X_{i}}{\partial x_{j}}}$ quels que soient les entiers $i$ et $j$. Ceci donne donc une condition nécessaire pour qu'un champ de classe $C^{1}$ soit à circulation conservative. Dans le cas d'un champ défini sur un ouvert de $\mathbb {R} ^{3}$, la condition précédente se réexprime simplement en $\mathrm {rot} X=0$.

Cette condition n'est cependant pas suffisante. En effet le champ de vecteurs

$X:{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}{\frac {-y}{x^{2}+y^{2}}}\\{\frac {x}{x^{2}+y^{2}}}\\0\end{pmatrix}}$

défini sur $(\mathbb {R} ^{2}\backslash \{(0,0)\})\times \mathbb {R}$ n'est pas à circulation conservative même si $\mathrm {rot} X=0$.

Le lemme de Poincaré donne tout de même une réciproque partielle : dans le cas où $X$ est défini sur un ouvert simplement connexe, on a équivalence entre "$X$ est conservatif" et ${\frac {\partial X_{j}}{\partial x_{i}}}={\frac {\partial X_{i}}{\partial x_{j}}}$ quels que soient les entiers $i$ et $j$.

Application à l'électrostatique

En électromagnétisme, lorsque les charges électriques sont immobiles (électrostatique), la circulation du champ électrique entre deux points (A et B) peut s'exprimer comme la différence de potentiel électrique V entre ces points :

$\int _{\mathrm {A} }^{\mathrm {B} }{\vec {E}}\cdot \mathrm {d} {\vec {l}}=V_{\mathrm {A} }-V_{\mathrm {B} }$

Le champ électrostatique dérive du potentiel électrique :

${\vec {E}}=-{\overrightarrow {\operatorname {grad} }}(V)$

Articles connexes

• Théorème de Helmholtz
• Force conservative