Vektorový potenciál

Vektorový potenciál je v vektorové analýze pomocné vektorové pole, jehož rotací získáváme zkoumané silové pole (například magnetickou indukci). Jde o vektorovou obdobu skalárního potenciálu – zatímco ze skalárního potenciálu získáváme pole pomocí gradientu, u vektorového potenciálu k témuž účelu slouží operace rotace.

Formálně: je-li dáno vektorové pole $\mathbf {v}$ , pak pole $\mathbf {A}$ je jeho vektorovým potenciálem, pokud platí:

\mathbf {v} =\nabla \times \mathbf {A}

(nebo též

\mathbf {v} =\operatorname {rot} \mathbf {A}

).

Existence a vlastnosti

Z identit vektorového počtu vyplývá, že divergence rotace je vždy nulová:

\operatorname {div} (\operatorname {rot} \mathbf {A} )=\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf {A} )=0

.

Z toho plyne nezbytná podmínka pro existenci vektorového potenciálu: pole $\mathbf {v}$ musí být bezzdrojové (solenoidální), tedy musí platit $\operatorname {div} \mathbf {v} =0$ . Podle Helmholtzova teorému lze každé dostatečně hladké a rychle klesající vektorové pole rozložit na součet gradientu skalárního potenciálu a rotace vektorového potenciálu.

Nejednoznačnost a kalibrační podmínky

Vektorový potenciál není určen jednoznačně. Pokud k poli $\mathbf {A}$ přičteme gradient libovolného skalárního pole $\psi$ , rotace výsledného pole zůstane stejná, protože rotace gradientu je identicky nulová ( $\operatorname {rot} (\operatorname {grad} \psi )=\mathbf {0}$ ):

\mathbf {A} '=\mathbf {A} +\nabla \psi \implies \nabla \times \mathbf {A} '=\nabla \times \mathbf {A}

.

Tato volnost ve výběru pole $\mathbf {A}$ se nazývá kalibrační transformace. Aby bylo možné s vektorovým potenciálem jednoznačně počítat, zavádí se doplňující kalibrační podmínka (též vazba), která výběr pole $\mathbf {A}$ omezuje. Mezi nejčastěji používané patří:

Coulombova kalibrační podmínka (transverzální kalibrace): $\nabla \cdot \mathbf {A} =0$ .
Lorentzova kalibrační podmínka (v relativistické elektrodynamice): $\nabla \cdot \mathbf {A} +{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial \phi }{\partial t}}=0$ .

Magnetický vektorový potenciál

Nejdůležitější uplatnění nachází tento pojem v elektrodynamice, kde se používá k popisu magnetické indukce $\mathbf {B}$ . Protože podle Maxwellových rovnic neexistují magnetické monopóly ( $\operatorname {div} \mathbf {B} =0$ ), lze psát:

\mathbf {B} =\nabla \times \mathbf {A}

.

Vztah k magnetickému toku

Pomocí Stokesovy věty lze ukázat, že magnetický tok $\Phi$ plochou $S$ je roven cirkulaci vektorového potenciálu po uzavřené křivce $C$ , která tuto plochu ohraničuje:

\Phi =\iint _{S}\mathbf {B} \cdot d\mathbf {S} =\iint _{S}(\nabla \times \mathbf {A} )\cdot d\mathbf {S} =\oint _{C}\mathbf {A} \cdot d\mathbf {l}

.

Tento vztah naznačuje, že vektorový potenciál má hluboký fyzikální význam, což potvrzuje i Aharonovův-Bohmův efekt v kvantové mechanice, kde potenciál ovlivňuje fázi vlnové funkce částice i v místech, kde je samotné magnetické pole nulové.

Užití v elektromagnetismu

Vektorový potenciál $\mathbf {A}$ spolu se skalárním potenciálem $\varphi$ plně charakterizuje elektromagnetické pole. Ze znalosti těchto potenciálů lze určit elektrickou intenzitu $\mathbf {E}$ a magnetickou indukci $\mathbf {B}$ :

$\mathbf {E} =-\operatorname {grad} \varphi -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}$

$\mathbf {B} =\operatorname {rot} \mathbf {A}$

Rotace vektorového potenciálu tedy udává magnetickou indukci. Je nutno říci, že vektorový potenciál není ani zdaleka určen jednoznačně, stejné fyzikální situaci tedy může odpovídat mnoho potenciálů Je však vždy nutné splnit tzv. Lorenzovu kalibrační podmínku, tedy:

$\operatorname {div} \mathbf {A} +{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial t}}=0$

Ve stacionárním případě, například v magnetostatice se podmínka zredukuje na $\operatorname {div} \mathbf {A} =0$ .

V magnetostatice je občas výhodnější místo přímého počítání magnetického indukce pomocí Ampérova zákona nebo Biotova–Savartova zákona nejdříve vypočítat vektorový potenciál a pak určit magnetickou indukci jako jeho rotaci.

Pro vektorový potenciál platí v magnetostatice rovnice:

$-\Delta \mathbf {A} =\mu \mathbf {j}$

Kde proudová hustota splňuje magnetostatickou rovnici kontinuity $\operatorname {div} \mathbf {j} =0$ .

Řešení této rovnice můžeme zapsat ve tvaru integrálu:

$\mathbf {A} (\mathbf {x} )={\frac {\mu }{4\pi }}\int {\frac {\mathbf {j} }{|\mathbf {x} -\mathbf {x'} |}}d^{3}x'$

Integrál zde probíhá přes celý prostor. Fyzikálně měřitelnou magnetickou indukci pak určíme jako $\mathbf {B} =\operatorname {rot} {\mathbf {A} }$ .

Poznamenejme, že ve speciální relativitě je vektorový potenciál prostorovou složkou čtyřvektoru:

$A^{\nu }=({\frac {1}{c}}\varphi ,\mathbf {A} )$

Konstanta u skalárního potenciálu závisí na použité soustavě jednotek, v případě jednotek SI, které jsou použity v tomto článku zde vystupuje rychlost světla $c$ .

Související články

Literatura

FEYNMAN, Richard P. Feynmanovy přednášky z fyziky. Svazek 2. [s.l.]: Fragment, 2001. ISBN 80-7200-420-4.
SEDLÁK, Bedřich. Elektřina a magnetismus. [s.l.]: Karolinum, 2002.
STRATTON, Julius Adams. Electromagnetic Theory. [s.l.]: McGraw-Hill, 1941. Dostupné online.