Inégalité d'Hermite-Hadamard

Illustration de l'inégalité d'Hermite-Hadamard.

En mathématiques, l'inégalité d'Hermite–Hadamard, nommé d'après Charles Hermite et Jacques Hadamard, parfois appelée inégalité de Hadamard, donne un encadrement de la moyenne arithmétique d'une fonction. Plus précisément, elle dit que si une fonction f : [a,b] → ℝ est convexe, alors son intégrale est bornée par :

$f\left({\frac {a+b}{2}}\right)\leq {\frac {1}{b-a}}\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x\leq {\frac {f(a)+f(b)}{2}}.$

Historique

L'inégalité a été essentiellement découverte en 1881 par le mathématicien français Charles Hermite (qui l'avait même annoncée). Cela est toutefois resté inaperçu dans un premier temps, tout comme la publication présentée à ce sujet par Hermite en 1883 dans la revue « Mathesis ».

Preuve

Si la fonction f est convexe sur un intervalle, elle y est continue, mais aussi dérivable à gauche et à droite en chaque point. On note f ⁻ et f ⁺ ces dérivées respectivement. Ainsi, pour chaque x₀ ∈ [a , b], on peut construire une ligne

$t(x)=f(x_{0})+c(x-x_{0}),\ c\in [f^{-}(x_{0}),f^{+}(x_{0})].$

telle que

$\forall x\in [a,b],t(x)\leqslant f(x),{\text{ et }}t(x)=f(x)\Leftrightarrow x=x_{0}.$

On a, en particulier, pour x₀ = a + b/2 :

$\forall x\in [a,b],f\left({\frac {a+b}{2}}\right)+c\left(x-{\frac {a+b}{2}}\right)\leqslant f(x),\ c\in \left[f^{-}\left({\frac {a+b}{2}}\right),f^{+}\left({\frac {a+b}{2}}\right)\right].$

D'autre part, toujours par convexité de f, on a :

$\forall x\in [a,b],f(x)\leqslant f(a)+{\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}(x-a).$

Il suffit alors de calculer les intégrales des deux fonctions affines :

$\int _{a}^{b}\left[f\left({\frac {a+b}{2}}\right)+c\left(x-{\frac {a+b}{2}}\right)\right]\,\mathrm {d} x=(b-a)f\left({\frac {a+b}{2}}\right),\ \int _{a}^{b}\left[f(a)+{\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}(x-a)\right]\,\mathrm {d} x=(b-a){\frac {f(a)+f(b)}{2}}.$

Généralisation par les intégrales itérées

On considère f : [a , b] → ℝ une fonction réelle intégrable. On peut définir la suite de fonctions suivante d'intégrales itérées de f, pour a ≤ s ≤ b :

${\begin{aligned}F^{(0)}(s)&:=f(s),\\F^{(1)}(s)&:=\int _{a}^{s}F^{(0)}(u)du=\int _{a}^{s}f(u)\mathrm {d} u,\\F^{(2)}(s)&:=\int _{a}^{s}F^{(1)}(u)du=\int _{a}^{s}\left(\int _{a}^{t}f(u)\mathrm {d} u\right)\,\mathrm {d} t,\\&\ \ \vdots \\F^{(n)}(s)&:=\int _{a}^{s}F^{(n-1)}(u)\,du,\\&{}\ \ \vdots \end{aligned}}$

Alors si f est convexe, pour a < x_i < b, i = 1, ..., n, distincts deux à deux (x_i ≠ x_j et i ≠ j), alors on a:

$\sum _{i=1}^{n}{\frac {F^{(n-1)}(x_{i})}{\Pi _{i}(x_{1},\dots ,x_{n})}}\leq {\frac {1}{n!}}\sum _{i=1}^{n}f(x_{i})$

avec

$\Pi _{i}(x_{1},\dots ,x_{n}):=\prod _{i\in \{1;n\},i\neq j}(x_{i}-x_{j})=(x_{i}-x_{1})(x_{i}-x_{2})\cdots (x_{i}-x_{i-1})(x_{i}-x_{i+1})\cdots (x_{i}-x_{n}),\ \ i=1,\dots ,n.$

L'inégalité change de sens si f est concave.

Le cas d'égalité est vérifié si et seulement si f est linéaire.

On a également : avec ${\underline {\alpha }}=(\alpha ,\ldots ,\alpha )$ pour ${\displaystyle \ a<\alpha$ alors

$\lim _{{\underline {x}}\to {\underline {\alpha }}}\sum _{i=1}^{n}{\frac {F^{(n-1)}(x_{i})}{\Pi _{i}(x_{1},\ldots ,x_{n})}}=\lim _{{\underline {x}}\to {\underline {\alpha }}}{\frac {1}{n!}}\sum _{i=1}^{n}f(x_{i})={\frac {f(\alpha )}{(n-1)!}}$

Applications

Formule de Stirling

En 1883, Hermite applique l'inégalité sur la fonction (convexe stricte) $f:t\mapsto {\frac {1}{1+t}}$ pour $x>0$:

${\displaystyle {\begin{aligned}xf\left({\frac {0+x}{2}}\right)<\int _{0}^{x}f(t)\,\mathrm {d} t$

Ainsi, pour x = 1/n, avec n un entier strictement positif :

${\begin{aligned}{\frac {1}{n}}-{\frac {\frac {1}{n^{2}}}{2+{\frac {1}{n}}}}<\ln(1+{\frac {1}{n}})<{\frac {1}{n}}-{\frac {\frac {1}{n^{2}}}{2+{\frac {2}{n}}}}&\Longleftrightarrow &{\frac {1}{n+{\frac {1}{2}}}}<\ln(1+{\frac {1}{n}})<{\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{n}}+{\frac {1}{n+1}}\right)\\\end{aligned}}$

On en déduit l'inégalité :

$\forall n\in \mathbb {N} ^{*},\ \left(n+{\frac {1}{2}}\right)\ln(1+{\frac {1}{n}})>1.$

dont on tire :

$\forall n\in \mathbb {N} ^{*},\ \sum _{k=1}^{n}\left[\left(k+{\frac {1}{2}}\right)\ln(1+{\frac {1}{k}})-1\right]=\left(n+{\frac {1}{2}}\right)\ln(n+1)-\ln(n!)-n>0.$

Cette suite est donc minorée et décroissante, donc converge. En passant à l'exponentielle, on reconnait un résultat fondamental pour établir la formule de Stirling :

$\lim {\frac {(n+1)^{n+{\frac {1}{2}}}}{n!\mathrm {e} ^{n}}}<+\infty .$

Inégalités entre moyennes

En appliquant l'inégalité sur la fonction (convexe) exponentielle pour $a=\ln x$ et $b=\ln y$:

$\exp \left({\frac {a+b}{2}}\right)\leqslant {\frac {\mathrm {e} ^{b}-\mathrm {e} ^{a}}{b-a}}\leqslant {\frac {\mathrm {e} ^{a}+\mathrm {e} ^{b}}{2}}\Longleftrightarrow \mathrm {G} (x,y)\leqslant \mathrm {L} (x,y)\leqslant \mathrm {A} (x,y)$

où G désigne la moyenne géométrique, L désigne la moyenne logarithmique et A désigne la moyenne arithmétique.

En appliquant l'inégalité sur la fonction (concave) logarithme pour $a=x$ et $b=y$:

$\ln \left({\frac {a+b}{2}}\right)\geq {\frac {1}{b-a}}\int _{a}^{b}\ln(x)\,\mathrm {d} x\geq {\frac {\ln(a)+\ln(b)}{2}}.\Longleftrightarrow \mathrm {G} (x,y)\leqslant \mathrm {I} (x,y)\leqslant \mathrm {A} (x,y)$

où I désigne la moyenne identrique.

Remarques

• Certains auteurs désignent l'inégalité d'Hermite-Hadamard sous le nom d'« inégalité de Jensen-Hadamard » , en faisant également référence au mathématicien danois Johan Ludwig Jensen. En effet, l'estimation supérieure de l'inégalité peut se déduire d'une simple application de la variante continue de l'inégalité de Jensen.
• L'inégalité intégrale peut être considérée comme le point de départ de la théorie de Choquet (en). Dans le cadre de cette théorie, on peut montrer que, dans les conditions décrites dans le théorème de Choquet, une inégalité intégrale analogue s'applique. En particulier, cet analogue est valable pour tout simplexe de dimension n $\Delta \subset \mathbb {R} ^{n}\;(n\in \mathbb {N} )$ et toute mesure de probabilité borélienne définie sur $\Delta$.

Références

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Hermite–Hadamard inequality » (voir la liste des auteurs).

• Jacques Hadamard, « Étude sur les propriétés des fonctions entières et en particulier d'une fonction considérée par Riemann », Journal de mathématiques pures et appliquées, vol. 58,‎ 1893, p. 171–215 (lire en ligne).
• (en) Zoltán Retkes, « An extension of the Hermite–Hadamard Inequality », Acta scientiarum mathematicarum (Szeged), vol. 74,‎ 2008, p. 95–106.
• (en) Mihály Bessenyei, « The Hermite–Hadamard Inequality on Simplices », American Mathematical Monthly, vol. 115,‎ avril 2008, p. 339–345.
• (en) Flavia-Corina Mitroi et Eleutherius Symeonidis, « The converse of the Hermite-Hadamard inequality on simplices », Expo. Math., vol. 30,‎ 2012, p. 389–396 (ISSN 0723-0869, DOI 10.1016/j.exmath.2012.08.011)
• (en) Constantin Niculescu et Lars-Erik Persson, Convex Functions and Their Applications : A Contemporary Approach, New York, Springer Verlag, coll. « CMS Books in Mathematics », 2006 (ISBN 0-387-24300-3, MR2178902)

Liens externes

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